Proporcionalidad directa e inversa

En una compra comparamos cantidad y coste. En un trabajo comparamos número de máquinas y tiempo. La regla no depende solo de las palabras del enunciado: necesita condiciones, como precio constante o mismo trabajo y rendimiento.

Preguntar «si una aumenta, ¿qué pasa con la otra?» ayuda a anticipar el sentido. Pero dos cantidades pueden crecer sin ser directamente proporcionales, o una bajar mientras otra sube sin ser inversamente proporcionales. La prueba será un cociente constante o un producto constante.

Una tabla recoge parejas de valores que pertenecen a la misma situación. No mezclamos precios de productos distintos o tiempos de trabajos de tamaño diferente como si todos siguieran una única regla.

Tres euros por cuaderno producen parejas (1; 3), (2; 6), (3; 9), (4; 12). Si dividimos coste entre cantidad, obtenemos tres en cada pareja positiva.

Si multiplicamos x por un factor, y se multiplica por el mismo factor. Duplicar, reducir a la mitad o multiplicar por 1,5 actúa igual sobre ambas. Para encontrar un dato podemos calcular primero k o usar un factor entre cantidades.

La constante conserva unidades: en este ejemplo k se mide en €/cuaderno. La fila x = 0 no permite formar y/x, pero el modelo y = kx exige y = 0 allí.

En el gráfico, x es cantidad de cuadernos e y coste en euros. La regla y = 3x coloca los puntos en una recta que pasa por (0; 0). Cada unidad horizontal añade tres euros. La inclinación representa el precio unitario con las escalas indicadas.

Si solo se venden cuadernos enteros, las cantidades posibles son puntos con x entero. La línea muestra la regla ideal entre ellos, pero no obliga a que se pueda comprar medio cuaderno. El dominio procede de la situación.

Una recta que no pasa por el origen no representa proporcionalidad directa entre esas dos cantidades, aunque crezca con regularidad. Primero revisamos si existe un término fijo añadido.

Si un trabajo exige veinticuatro máquinas-hora, dos máquinas tardan doce horas, cuatro tardan seis y ocho tardan tres. Los tiempos no tienen el mismo cociente con el número de máquinas; lo que coincide es el producto: 2 · 12 = 4 · 6 = 8 · 3 = 24.

Para estas magnitudes físicas trabajamos con x e y positivos. Al multiplicar x por un factor, y se divide por ese factor. Duplicar x reduce y a la mitad.

No toda relación decreciente es inversa. Necesitamos que el producto permanezca constante bajo las condiciones del problema. El cero queda fuera de la expresión K/x si K es distinto de cero.

Una máquina que fabrica cuatro piezas por hora produce 4nt piezas si n máquinas idénticas trabajan t horas sin interferirse.

Ahí nace el producto del modelo inverso.

No se supone que duplicar personas o máquinas siempre reduzca cualquier tarea a la mitad. En el enunciado deben estar fijados rendimiento, trabajo divisible y posibilidad de trabajar a la vez. La matemática describe esas hipótesis; no reemplaza la organización real de una tarea.

Un tiempo puede ser fraccionario. Si resulta 1,5 h, significa una hora y media. No redondeamos sin motivo a dos horas ni confundimos 1,5 horas con una hora y cinco minutos.

En directa calculamos y/x para cada fila con x ≠ 0 y comprobamos que coincide. En inversa calculamos xy. Un solo par de valores no prueba proporcionalidad: muchas reglas pasan por ese mismo punto.

Si una fila rompe la constante, la tabla completa no responde a ese modelo exacto. Puede haber una cuenta equivocada, mediciones aproximadas o una relación distinta. La proporcionalidad es una afirmación que hay que contrastar, no un nombre que se pone por apariencia.

Un servicio que cobra dos euros fijos más tres por unidad sigue y = 2 + 3x. Al pasar de una a dos unidades, el coste va de cinco a ocho; no se duplica. El cociente cambia de cinco a cuatro. Crece con x, pero no es proporcionalidad directa.

El área de un cuadrado también crece con el lado, pero A = l²: duplicar el lado cuadruplica el área. Una relación inversa tampoco se reconoce solo por bajar: y = 10 − x decrece, pero sus productos xy no son constantes.

En una producción ideal W = rnt, W cuenta piezas, r piezas por máquina y hora, n máquinas y t horas. A rendimiento r fijo, la producción es directa respecto de n y respecto de t. Para una producción W fija, el tiempo es inverso respecto de n.

La llamada regla de tres compuesta combina esos efectos. Podemos evitar flechas memorizadas calculando primero r con los datos originales y después planteando la nueva situación con sus unidades. Cada factor mantiene un significado.

Antes de despejar escribimos la constante que corresponde: y/x en directa o xy en inversa. Después sustituimos las parejas completas, calculamos y comprobamos el sentido del cambio. Una multiplicación cruzada sin nombrar las magnitudes puede esconder una comparación equivocada.

Si el resultado incumple el sentido previsto o las unidades, revisamos la regla y los datos. Si hay una cuota fija, un rendimiento variable u otra condición, formulamos esa relación en vez de forzar una proporcionalidad que no existe.