Razones, tasas y razones unitarias

Una magnitud es una propiedad que medimos o contamos, como masa, tiempo, distancia o cantidad de objetos. Una razón compara dos cantidades mediante un cociente. En el dibujo, azules:rojas = 3:2, que también escribimos 3/2. Significa tres azules por cada dos rojas.

El orden importa: rojas:azules = 2:3 es la comparación inversa. No decimos solo «la razón es tres medios» sin aclarar qué estamos comparando. El denominador no puede ser cero.

La razón 3:2 no exige que solo haya cinco fichas. También seis y cuatro, nueve y seis o cualquier par obtenido multiplicando ambas cantidades por el mismo factor conservan esa relación. La segunda fila del dibujo muestra una ampliación, no una razón nueva.

Con tres azules y dos rojas hay cinco en total. La razón azules:rojas es 3:2, pero la fracción de fichas azules dentro del total es 3/5. El denominador cambia porque la pregunta cambió.

Si la razón entre dos grupos es m:n y su total es T, juntamos m + n partes de igual tamaño. Cada parte vale T/(m + n). Multiplicamos por m para el primer grupo y por n para el segundo. Si contamos objetos indivisibles, el resultado debe ser un recuento entero compatible.

Si tres cuadernos cuestan nueve euros, la tasa coste/cantidad es 9 €/3 cuadernos = 3 €/cuaderno. Ahora las unidades no se cancelan por completo: indican qué significa el resultado. Tres euros por cuaderno es distinto de tres cuadernos por euro.

Velocidad media es distancia/tiempo, como km/h. Ritmo puede expresarse como tiempo/distancia, como min/km. Producción puede ser piezas/hora. Antes de dividir, nombramos la magnitud del numerador y la del denominador.

Una tasa media resume un intervalo. No afirma que en cada instante se haya mantenido exactamente ese valor. Un recorrido de 60 km en dos horas tiene media 30 km/h aunque haya habido paradas o cambios de velocidad.

Para saber cuánto corresponde a una unidad, dividimos ambas cantidades entre el número de unidades. Si cuatro cuadernos cuestan doce euros, uno cuesta 12/4 = 3 €. Después siete costarían 7 · 3 = 21 €, si el precio unitario se mantiene.

Reducir a uno explica la regla de tres: primero divide para encontrar cuánto hay por unidad; después multiplica por la cantidad buscada. La hipótesis de precio constante, sin cuota fija ni descuentos por cantidad, debe formar parte del problema.

Un tiempo de treinta minutos es 0,5 horas, no 0,30 horas. Para obtener km/h, dividimos los kilómetros entre el tiempo expresado en horas. Para €/kg, convertimos gramos a kilogramos o mantenemos primero €/g y después cambiamos la unidad.

Las conversiones afectan al número pero conservan la magnitud. Como 1 h = 60 min, una velocidad en km/h se divide entre sesenta para expresarla en km/min. Para m/s, además cambiamos kilómetros a metros y horas a segundos.

Si recorremos 12 km en una hora, la velocidad media es 12 km/h. La tasa tiempo/distancia es 1/12 h/km, equivalente a cinco min/km. No son números iguales, pero describen la misma relación con el orden invertido.

Con ambas cantidades positivas, invertir una tasa invierte también sus unidades. Un precio de 4 €/kg equivale a 1/4 kg/€. La segunda responde cuánta masa compramos con un euro, no cuánto cuesta un kilogramo.

Para una velocidad media de todo el viaje sumamos distancias y dividimos entre la suma de tiempos, incluyendo las paradas si el intervalo pedido las incluye. No promediamos velocidades sin mirar cuánto tiempo se mantuvo cada una.

Si se pasa el mismo tiempo a dos velocidades, su media aritmética sí coincide con la media del viaje. Si se recorren iguales distancias a dos velocidades, los tiempos son distintos y normalmente esa media simple falla. La regla general siempre es distancia total/tiempo total.

Para comparar paquetes ponemos sus precios en una misma unidad de masa o volumen. Después decidimos si realmente son el mismo tipo y calidad de producto y si necesitamos esa cantidad. El precio unitario responde solo a la comparación numérica que se ha planteado.

En tasas de resultados, como aciertos por intentos, también importa el denominador. Diez aciertos entre veinte y quince entre cincuenta no se comparan mirando solo diez y quince. Una tasa agrega información, pero no elimina diferencias de condiciones o tamaños de muestra.