Porcentajes y variaciones porcentuales

Son formas equivalentes de expresar la misma proporción. La cuadrícula de cien casillas muestra veinticinco coloreadas: un cuarto del total. Si el total fuese 200 €, cada casilla representaría 2 € y el cuarto valdría 50 €.

Llamamos base al total sobre el que aplicamos el porcentaje. Sin esa referencia, un porcentaje no determina una cantidad absoluta. El 10 % de veinte es dos; el 10 % de doscientos es veinte.

El 100 % es una base completa, el 50 % su mitad y el 1 % su centésima parte. En comparaciones, un valor puede ser el 150 % de otro: una vez y media. Eso no significa que un subconjunto contenga más objetos que su propio total; depende de qué se esté comparando.

Para hallar una parte de base B con porcentaje p, hacemos parte = B · p/100.

La palabra «de» señala sobre qué cantidad actúa el factor.

Si conocemos parte y base, dividimos parte/base para obtener la proporción y multiplicamos por cien para expresarla en porcentaje.

La base no puede ser cero para esa comparación.

Antes de calcular, nombramos las tres piezas: base, porcentaje y parte. No dividimos siempre el mayor entre el menor: el orden lo decide la pregunta.

Aumentar un 20 % significa conservar el 100 % inicial y añadir un 20 % de esa misma base: queda el 120 %, factor 1,20.

Para un descuento ordinario sobre un precio no negativo, p está entre cero y cien. El factor ahorra una cuenta intermedia, pero conserva la misma idea de parte que se suma o se quita.

Si tras subir un 25 % el valor final es 150, la igualdad es final = base · 1,25.

No quitamos un 25 % de 150, porque ese sería un porcentaje sobre otra referencia.

Después de un descuento del 20 %, la igualdad es final = base · 0,80. Dividimos entre 0,80. La misma idea funciona si una parte es un porcentaje conocido de una base: si el 30 % vale 18, entonces 0,30 · base = 18 y base = 60.

El factor debe ser no nulo para poder invertirlo. Si se descuenta el 100 %, todos los precios iniciales producen cero: conocer solo ese cero final no permite recuperar una base única.

En el dibujo, 100 € suben un 20 % y llegan a 120 €. Después bajar un 20 % significa quitar el 20 % de 120, que son 24 €, y quedan 96 €. No volvemos al inicio porque el segundo porcentaje actúa sobre una base distinta.

El factor total es el producto de factores. No sumamos automáticamente +20 % y −20 % como si ambos se aplicaran al mismo cien inicial.

Si ambos cambios se declararan sobre la misma base original, el planteamiento sería otro y habría que decirlo. La lectura del enunciado decide si la referencia se actualiza en cada paso.

Si una base inicial B pasa a F, el cambio absoluto es F − B.

Para cantidades positivas, un resultado positivo indica aumento y uno negativo descenso.

De 80 a 100, el aumento es veinte sobre ochenta: 25 %. De 100 a 80, el descenso es veinte sobre cien: 20 %. Cambiar de sentido cambia el denominador. Por eso subir y bajar el mismo importe no significa el mismo porcentaje.

Una caída del 20 % tiene factor 0,80 y exige después factor 1/0,80 = 1,25: aumento del 25 %. No necesita un aumento del mismo 20 %.

Si una proporción pasa del 20 % al 30 %, la diferencia es de diez puntos porcentuales.

Diez puntos y cincuenta por ciento describen el mismo cambio con referencias diferentes.

Cuando tomamos un porcentaje de un subgrupo, multiplicamos proporciones. Si un subgrupo es el 40 % del total y una parte es el 25 % de ese subgrupo, esa parte ocupa 0,40 · 0,25 = 0,10 del total, el 10 %. El segundo porcentaje no se aplicó directamente al total completo.

Dos grupos pueden tener porcentajes diferentes y tamaños diferentes. El porcentaje conjunto se calcula sumando las partes y dividiendo entre la suma de sus bases. La media simple de los porcentajes solo coincide cuando ambas bases tienen el mismo tamaño.

Las aproximaciones se señalan y se retrasan hasta el final. Si trabajamos con personas u objetos enteros, un porcentaje redondeado puede no permitir recuperar un recuento exacto. No inventamos una precisión que el dato no tiene.

Antes de dar la respuesta, nombramos de nuevo la base: porcentaje de qué, valor final o cambio, puntos o cambio relativo. Ese último paso evita que una operación correcta responda una pregunta distinta.