Escalas y reparto proporcional

Una escala 1:100 significa una unidad en el plano por cada cien de la realidad, usando la misma unidad en ambos términos. Un centímetro del plano representa cien centímetros reales, que son un metro. No significa un centímetro por cien metros.

La razón es escala = longitud del dibujo/longitud real. En el ejemplo del plano, seis por cuatro centímetros representan seis por cuatro metros. Las medidas escritas son los datos del ejemplo; medir con una regla la pantalla después de cambiar el zoom no modifica esos datos.

Con escala 1:n, real = dibujo · n y dibujo = real/n. Antes de comparar ponemos las longitudes en unidades compatibles. Podemos obtener la realidad primero en centímetros y convertir al final, o convertir la medida de dibujo antes de multiplicar.

El sentido se revisa: en una reducción 1:n con n > 1, la longitud real debe ser mayor que la dibujada. Usar el factor al revés produciría una realidad todavía más pequeña que el plano.

En una escala general a:b, el factor dibujo/real es a/b. Si es menor que uno, el dibujo reduce; si es mayor, amplía. Una escala 2:1 duplica las longitudes reales en el dibujo; 1:1 mantiene el tamaño.

Una reducción uniforme mantiene ángulos y proporciones. Si hacemos una figura el doble de ancha pero dejamos igual la altura, la deformamos y no hay una única escala para todas sus longitudes. Las medidas verticales y horizontales deben seguir el mismo factor cuando se declara una escala uniforme.

Los mapas pueden indicar una escala gráfica con una barra y una distancia real. Al ampliar toda la imagen, la barra se amplía con el mapa y permite recuperar la relación. Una escala numérica impresa se refiere al tamaño de representación para el que fue definida.

Si todas las longitudes se multiplican por k, el área de un rectángulo recibe un factor k en base y otro en altura: k². En figuras semejantes se mantiene esa misma ley. En los rectángulos del dibujo, k = 2 y el área pasa de seis a veinticuatro: factor cuatro.

En cuerpos semejantes hay tres dimensiones que escalan y el volumen cambia por k³. Una escala de longitudes 1:100 corresponde a áreas 1:10 000 y volúmenes 1:1 000 000. No se aplica el cien una sola vez a una superficie.

Repartir 500 € en razón 2:3:5 significa asignar dos, tres y cinco bloques de igual valor. Hay diez bloques, así que cada uno vale 500/10 = 50 €. Los grupos reciben 100, 150 y 250 €. El dibujo muestra qué se sumó y por qué.

Para pesos positivos w₁, w₂… y total T, cada cuota es T · peso/suma de pesos. Los pesos no son importes que se añaden al total: indican cuántas partes iguales recibe cada grupo. La suma de cuotas debe ser T.

Repartir inversamente a 2 y 3 significa que las cuotas siguen 1/2 y 1/3. Para quitar denominadores multiplicamos ambos pesos por seis y obtenemos 3:2. La cuota asociada al peso original mayor recibe menos.

Si el total es 120 €, el reparto en 3:2 da 72 y 48 €. La comprobación inversa es cuota · peso original constante: 72 · 2 = 48 · 3 = 144. No repartimos 120 en 2:3 y decimos después que lo hemos invertido.

Sumar el total correcto no basta: unas cuotas pueden sumar bien y estar mal proporcionadas. Tampoco basta conservar una razón si la suma ya no es el total pedido. En directa revisamos cuota/peso constante y suma; en inversa, cuota · peso original constante y suma.

En una escala también hay dos revisiones: correspondencia del factor y unidad final. Un número puede respetar un factor aplicado a unidades mezcladas y seguir representando otra longitud. Volver desde el resultado al dato inicial es una buena comprobación.

Las medidas de un plano pueden ser aproximadas y sus resultados heredan esa precisión. En un reparto monetario hay céntimos; en un reparto de objetos enteros no siempre se permite dividir. Antes de redondear reconocemos si existe una solución exacta en esas unidades.

Si las cuotas exactas tienen más decimales, redondear todas por separado puede perder parte del total. Podemos asignar los céntimos restantes con un criterio declarado, pero el resultado será una aproximación al reparto exacto. No afirmamos a la vez igualdad exacta de cuotas y total cuando los céntimos lo impiden.