Interés simple y compuesto

El capital inicial C es el dinero de partida. La tasa i indica qué fracción de la base se genera en un periodo: 5 % por año se escribe i = 0,05 anual. El interés I es una cantidad de dinero. El saldo final M reúne el capital y el interés acumulado en el modelo: M = C + I.

Si partimos de 200 € y se genera un 5 % sobre esa base durante un periodo, I = 200 · 0,05 = 10 € y M = 210 €. El 5 % no son cinco euros, y 210 € no es solo el interés.

En las cuentas siguientes los intereses se conservan hasta el final, sin salidas de dinero. En el modelo simple se llevan aparte sin generar nuevos intereses; en el compuesto se incorporan a la base siguiente.

Cada año genera 1000 · 0,10 = 100 €, siempre sobre los mil iniciales. Los saldos totales acumulados son 1100, 1200 y 1300 € después de uno, dos y tres años.

Con n periodos iguales, I = Cin porque sumamos n veces el mismo interés Ci.

El crecimiento es una suma repetida, no una potencia.

Que los intereses no se capitalicen define el modelo simple. Si se pagaran fuera de la cuenta cada periodo, el capital de la cuenta podría seguir siendo C; al sumar todo lo recibido se recuperaría C + I. En nuestros ejemplos se liquidan al final.

Una tasa anual actúa por años y una mensual por meses. En interés simple, si i = 12 % anual y el tiempo es ocho meses, usamos n = 8/12 años.

No multiplicamos una tasa anual por ocho como si fueran ocho años.

En un modelo simple con reparto lineal del tiempo, 12 % anual corresponde a 1 % mensual y las dos formas dan lo mismo para ocho meses. Esa división no debe trasladarse automáticamente a una tasa efectiva compuesta: allí intervienen productos, como veremos.

Para interés compuesto por periodos completos, n cuenta capitalizaciones. Si se pregunta por una fracción de un periodo, hace falta indicar cómo se trata esa fracción. Una potencia con exponente fraccionario es un modelo adicional, no una regla que debamos suponer sin datos.

Con C = 1000 € al 10 % compuesto anual, el primer interés es cien y el saldo 1100. El segundo se calcula sobre 1100: ciento diez, saldo 1210. El tercero genera ciento veintiuno, saldo 1331. El dibujo muestra la base actualizada y el interés de cada año.

Cada paso multiplica el saldo por 1 + i.

La potencia resume esos productos, no los sustituye por una suma.

Esta fórmula usa una tasa constante, sin entradas ni salidas. Si las tasas cambian, multiplicamos sus factores por separado: M = C(1 + i₁)(1 + i₂)… No usamos una media simple de tasas como si garantizara el mismo saldo.

Con igual C e i positivos, simple y compuesto coinciden al terminar un periodo. A partir del segundo periodo entero, el compuesto incorpora intereses de intereses. Con los mil euros al diez por ciento y tres periodos, simple da 1300 y compuesto 1331: diferencia de 31 €.

La comparación exige que la tasa represente el mismo periodo y que se mantengan las condiciones del cálculo. No comparamos un 2 % mensual con un 3 % anual mirando solo dos y tres. Primero traducimos cada modelo al mismo plazo y a las mismas cantidades.

Si se declara una tasa nominal anual j repartida entre m capitalizaciones iguales al año, la tasa por capitalización es j/m.

Esa división es parte de la definición nominal dada en el enunciado.

La tasa efectiva anual del mismo modelo es i anual = (1 + j/m)ᵐ − 1. En cambio, si el dato ya es una tasa efectiva anual y queremos la mensual equivalente, hacemos i mensual = (1 + i anual)^(1/12) − 1. No la dividimos automáticamente entre doce.

Una tasa efectiva describe el crecimiento de un periodo concreto. El interés compuesto describe cómo se encadenan las bases y los periodos. Nombrar correctamente tasa, periodo y capitalización evita tratarlos como palabras intercambiables.

Si M = C(1 + in), recuperamos C dividiendo entre 1 + in, la tasa i mediante (M/C − 1)/n o el plazo n mediante (M/C − 1)/i, cuando los denominadores sean no nulos.

Para una tasa desconocida con n positivo, 1 + i = (M/C)^(1/n): la raíz deshace la potencia. Para un plazo desconocido podemos reconocer potencias enteras o usar logaritmos, que recuperan exponentes: n = ln(M/C)/ln(1 + i), para C, M positivos y tasa distinta de cero con 1 + i positivo.

Si la tasa es cero, el saldo permanece C en este modelo y no se puede deducir un plazo único solo a partir de M = C. Elegimos el despeje que responde a la incógnita real, sin convertir el interés generado en saldo completo.

Al terminar identificamos si se pidió saldo M o interés I. Ambos tienen unidad monetaria, pero difieren en el capital inicial. La tasa va como decimal y su periodo coincide con n. Un 3 % es 0,03, no tres.

Conservamos cifras durante el cálculo y redondeamos según el criterio declarado. Las cantidades de los ejemplos son modelos matemáticos sin otros movimientos ni cargos. Si se añaden aportaciones, retiradas o componentes de coste, hay que incorporarlos en la fecha y base correspondientes, no seguir usando una potencia única sin cambios.