EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
¿Cuál es φ′(2) para φ(x)=x²?
- PISTA 1
Una pista
Deriva y sustituye.
Un desarrollo posible.
- La regla de derivación de potencias da φ′(x)=2x.
- Sustituimos x=2.
- φ′(2)=2·2=4.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
¿Cuántos puntos críticos tiene φ(x)=x² en R?
- PISTA 1
Una pista
Resuelve 2x=0.
Un desarrollo posible.
- Un crítico debe satisfacer φ′(x)=0.
- Como φ′(x)=2x, la ecuación equivale a x=0.
Solo hay una solución real, por lo que el número de críticos es 1.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Para λ=2, ¿cuál es la cota 2/|λ| de la integral lineal?
- PISTA 1
Una pista
Sustituye λ.
Un desarrollo posible.
La cota indicada es 2/|λ|, no necesariamente el valor exacto de la integral.
- Con λ=2, |λ|=2.
- La cota es 2/2=1.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva la identidad de integración por partes para fase no estacionaria.
- PISTA 1
Una pista
Deriva la exponencial usando la cadena.
Un desarrollo posible.
- La regla de la cadena da (d/dx)eⁱλφ(x)=iλφ′(x)eⁱλφ(x).
- En una región con λ≠0 y φ′≠0 podemos dividir: eⁱλφ=(iλφ′)⁻¹(d/dx)eⁱλφ.
Multiplicando por una amplitud a e integrando por partes aparece el borde [aeⁱλφ/(iλφ′)] y la integral −(iλ)⁻¹∫eⁱλφ(a/φ′)′.
Si a es suave compacta dentro de esa región, el borde es cero; si no, hay que conservarlo.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué φ(x)=x⁴ no tiene un crítico no degenerado en 0.
- PISTA 1
Una pista
Calcula la segunda derivada.
Un desarrollo posible.
- Para φ=x⁴, φ′=4x³ y φ′(0)=0, por lo que cero sí es crítico.
- La segunda derivada es φ″=12x² y se anula en cero.
La Hessiana de dimensión uno no es invertible: el crítico es degenerado y no cumple la hipótesis cuadrática.
La primera derivada no nula en cero es la cuarta, lo que lleva a otra escala de oscilación.