Sumar muchas contribuciones grandes puede dar un resultado pequeño si unas compensan a otras. En una integral oscilatoria la exponencial gira mientras la amplitud indica cuánto pesa cada punto. Vamos a calcular primero un caso exacto; después veremos por qué los bordes y los puntos donde la fase se frena cambian la respuesta.
Si necesitas repasar:
1. La amplitud mide el tamaño y la fase organiza las cancelaciones
Estudiamos 
para λ→+∞. La fase φ es real y la amplitud a puede ser compleja. El módulo de la exponencial es uno, así que la cota absoluta ∫|a| no mejora al crecer λ. La mejora puede venir de la suma de fases distintas.
Primero fijamos a y φ, y aumentamos λ. La rapidez del giro depende de λ∇φ. Un punto crítico cumple ∇φ=0; allí la fase se frena. Si amplitud o fase también cambian con λ, hacen falta cotas uniformes de sus derivadas y control de sus críticos.
Cuatro flechas pueden sumar cero
Contribuciones complejas uno, i, −1 y −i.
Tamaños
Cada una tiene módulo uno; la suma de módulos es cuatro.
Agrupar
Uno con −1 da cero; i con −i también.
Suma
El resultado total es cero.
La cota absoluta no detecta la cancelación.
No se ha reducido el tamaño individual de ninguna contribución.
Una amplitud variable puede deshacer el giro
φ(x)=x y 
(x)=e elevado a −iλx por b(x), con b suave compacta.
Multiplicar
La exponencial de la fase y la de
se cancelan.Integral
I(λ)=∫b(x)dx, independiente de λ.Hipótesis
Las derivadas de
crecen con λ, aunque su módulo sea |b|.
No hay decaimiento uniforme con solo controlar ∫||.
El ejemplo explica por qué declaramos qué datos se mantienen fijos.
2. Sin críticos, integrar por partes extrae una potencia de lambda
Si φ′ no se anula en el soporte de a, la cadena da 
. Para a suave compacta dentro de esa región, no aparece borde al integrar por partes. Obtenemos 
.
Cada repetición aporta λ⁻¹, pero también derivadas de a y recíprocos de φ′. En el soporte compacto, |φ′| tiene un mínimo positivo. De ahí I(λ)=O(λ⁻ᴺ) para cada N, con constantes que dependen de esas derivadas y de ese mínimo. No son las mismas para fases cuya derivada se aproxima a cero.
Fase lineal con amplitud suave compacta
φ(x)=3x.
Derivar
φ′=3, nunca cero.Una vez
I=−1/(3iλ) por la integral de e elevado a 3iλx por a′.Repetir
Dos veces permiten una cota ‖a″‖₁/(9λ²).
Podemos repetir hasta cualquier orden si a es C∞ compacta.
Es una cota para cada N, no una afirmación de que I sea exactamente cero.
Un crítico fuera del soporte no estorba
φ=x² y a está soportada dentro de (1,2).
Crítico de la fase
Está en cero.
Sobre el dato
En el soporte, φ′=2x está separado de cero.Conclusión
El principio no estacionario se aplica y da decaimiento rápido.
Importan los críticos donde realmente actúa la amplitud.
No se divide por φ′ en una región que contenga el origen.
3. Un borde sin anular puede dejar una contribución de orden uno entre lambda
En un intervalo cerrado, la integración por partes añade ![\left[e^{i\lambda\varphi}a/(i\lambda\varphi^{\prime})\right]_{A}^{B}](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-7e40942881e4.svg)
. Si la amplitud no se anula en los extremos, ese término suele ser del orden λ⁻¹. La conclusión de decaimiento rápido necesitaba amplitud suave con soporte interior.
La cuenta exacta 
muestra el efecto. La amplitud vista en R es un indicador, con dos bordes. Su módulo tiene cota 2/|λ|. No es comparable por abajo a 1/|λ| para todo λ grande, porque el seno tiene ceros.
Hacer toda la integración
Fase x en [−1,1], λ≠0.
Primitiva
Es e elevado a iλx dividido por iλ.
Extremos
Queda (e elevado a iλ−e elevado a −iλ)/(iλ).
Identidad
La diferencia de exponenciales es 2i sin λ, así que queda 2 sin λ/λ.
El borde produce el resultado completo.
La fase no tiene críticos; no por eso desaparecen los extremos.
Una cota superior no es un tamaño exacto
Tomar λ=kπ, con k entero positivo.
Seno
sin(kπ)=0.Integral
El resultado exacto es cero.
Cota
Sigue siendo cierto |I|≤2/(kπ), pero no una cota inferior positiva por 1/λ.
La notación O indica control superior.
No equivale a un término principal no nulo.
4. Un crítico cuadrático mantiene coherencia a escala raíz inversa de lambda
La fase cambia una cantidad de orden uno cuando λ|x−x₀|² es de orden uno. La anchura correspondiente es λ⁻¹ᐟ².
El lema de Morse permite convertir localmente la fase en una cuadrática exacta, pasando el jacobiano a la amplitud. El modelo 
usa ε>0 y la raíz continua desde el semiplano de parte real positiva.
Es un límite oscilatorio, no una integral absoluta.
La ventana de una cuadrática
φ=x² y λ=16.
Pedir poco cambio
16x²≤1.Despejar
|x|≤1/4.Anchura
El intervalo completo tiene longitud 1/2; su radio es λ⁻¹ᐟ²=1/4.
La zona coherente se estrecha cuando crece λ.
No se afirma que la integral tenga soporte solo en esa ventana.
El signo de la curvatura cambia la fase compleja
Comparar x² y −x² con amplitud real simétrica.
Conjugación
Las exponenciales son conjugadas una de otra.
Modelo positivo
El factor de Fresnel tiene fase +π/4.
Modelo negativo
Su conjugado tiene fase −π/4, con el mismo módulo.
La curvatura aporta una fase además de una escala.
Ignorar ese factor puede dar una suma incorrecta entre varios críticos.
5. La fórmula estacionaria incluye valor, curvatura y amplitud en el crítico
Con a∈C∞ compacta, φ real suave y un único crítico no degenerado x₀ en su soporte, 
.
La expansión continúa en potencias enteras de λ⁻¹ que multiplican el factor λ⁻¹ᐟ².
Si hay varios críticos aislados no degenerados, se suman sus contribuciones después de localizar con cortes suaves; pueden cancelarse.
Sustituir todos los datos antes de simplificar
φ(x)=5+3(x−2)², y a suave compacta con a(2)=4.
Crítico
φ′=6(x−2): x₀=2.Datos locales
φ(2)=5 y φ″(2)=6>0.Principal
Es 4√(π/(3λ)) por e elevado a i5λ+iπ/4.
El error es O(λ⁻³ᐟ²).
El seis de la segunda derivada está dentro del denominador de la raíz.
Una amplitud que anula completamente la integral
φ=x² y a(x)=xχ(x), con χ suave compacta y par.
En el crítico
a(0)=0, así que el primer término es cero.Paridad
La exponencial y χ son pares; el factor x hace impar todo el integrando.
Integral
La integral en R es exactamente cero por simetría.
La tasa λ⁻¹ᐟ² no es una cota inferior universal.
Incluso todos los términos pueden desaparecer en un ejemplo con simetría.
6. En varias dimensiones cuenta toda la Hessiana, no una derivada aislada
Sin críticos, el campo 
satisface L(e elevado a iλφ)=e elevado a iλφ. Su adjunto por integración por partes actúa sobre a. Bajo las mismas condiciones de soporte y separación de cero da decaimiento rápido.
Para un crítico con Hessiana Q invertible, el término principal es 
, con error O de λ elevado a −n/2−1. La firma sgn(Q) es número de autovalores positivos menos negativos. Una Hessiana con núcleo queda fuera de este enunciado.
Un mínimo en dos dimensiones
φ(x, y)=x²+4y².
Hessiana
Q=diag(2,8): determinante dieciséis y firma dos.Volumen
(2π/λ)/√16=π/(2λ).Fase
e elevado a iπ·2/4=i, así que el principal es iπa(0,0)/(2λ).
Las dos direcciones aportan juntas λ⁻¹.
La amplitud se supone suave compacta con el origen como único crítico.
Un punto de silla conserva el módulo pero cambia la fase
φ(x, y)=x²−4y².
Hessiana
Q=diag(2,−8): |det Q|=16.Firma
Un positivo menos un negativo da cero.
Principal
El factor de fase es uno: queda πa(0,0)/(2λ).
No se usa el signo del determinante como sustituto de la firma.
Ambos ejemplos tienen el mismo valor absoluto del determinante, pero fases distintas.
7. Un crítico más plano puede decaer más despacio
El lema de van der Corput en un intervalo da una cota 
(cλ) elevado a −1/k si |φ elevado a la derivada k|≥c>0, para k≥2. Con amplitud controlada aparecen factores como ‖a‖∞+‖a′‖₁. Para k=1 se añade monotonía de φ′ junto a su separación de cero.
El cambio x=λ⁻¹ᐟ⁴y explica la escala λ⁻¹ᐟ⁴; la cuarta derivada es veinticuatro. Una amplitud suave localizada con valor no nulo en cero tiene un término principal no nulo de ese orden. Si la fase es constante, no hay cancelación creciente.
Comparar las ventanas con el mismo lambda
λ=16, fases x² y x⁴.
Cuadrática
16x²≤1 da radio 1/4.Cuártica
16x⁴≤1 da radio 1/2.Comparar
La fase cuártica es más plana cerca de cero: conserva una región coherente mayor.
No se puede imponer la tasa cuadrática a un crítico degenerado.
Un dibujo de una curvatura pequeña no reemplaza la comprobación de φ″(0).
Fase constante
φ=7 en el soporte y ∫a=2.
Sacar el factor
I(λ)=e elevado a 7iλ por ∫a.Dato
I(λ)=2e elevado a 7iλ.Módulo
|I|=2 para todo λ.
Una exponencial compleja no garantiza decaimiento por sí sola.
Aquí no hay variación de fase entre los puntos del soporte.
8. Separar regiones funciona mientras los críticos no se fusionan
Una partición de unidad divide el soporte en vecindades de los críticos y una región residual. En la residual, |∇φ| tiene un mínimo positivo; en cada vecindad crítica se usa su modelo. La suma finita reúne las respuestas sin perder el significado de cada hipótesis.
Cuando varía otro parámetro, esa separación puede fallar. El factor |det Q|⁻¹ᐟ² avisa de que la fórmula no es uniforme si Q pierde invertibilidad. Cerca de una fusión de críticos se necesitan modelos uniformes distintos; no basta seguir sustituyendo en una expresión cuyo denominador se hace cero.
Dos críticos se acercan
(x)=x³/3−μx, con μ>0.
Resolver
=x²−μ: los críticos son ±√μ.Curvaturas
=2x, así que valen ±2√μ.Límite
Al bajar μ a cero se fusionan; el factor de curvatura crece como μ⁻¹ᐟ⁴.
La expansión separada no es uniforme cerca de μ=0.
En cero la fase es cúbica, no cuadrática.
Un borde y un crítico se analizan por separado
Fase x² sobre un intervalo que contiene cero, con amplitud no anulada en sus extremos.
Cortar
Un recorte suave pequeño aísla el origen.
Centro
La pieza central usa fase estacionaria de orden λ⁻¹ᐟ².
Resto
Lejos del crítico se integra por partes y se conservan los posibles bordes de orden λ⁻¹.
Hay dos mecanismos con tasas diferentes dentro de una misma integral.
No se descartan los bordes por haber encontrado un punto crítico.
9. Fourier de una superficie ve las direcciones normales
Fourier de una función C∞ compacta tiene fase lineal sin críticos en la dirección no nula: integrar por partes explica su decrecimiento rápido. En una superficie, la fase se restringe al espacio tangente. Puede ser estacionaria cuando la dirección frecuencial es normal a la superficie.
En la esfera de dimensión n−1 de Rⁿ, para n≥2, hay dos puntos normales a una dirección dada. Su curvatura produce críticos no degenerados. La dimensión de integración es n−1, así que la cota es del orden |ξ| elevado a −(n−1)/2. La tasa depende de la dimensión integrada, no de la ambiental sin restar uno.
Verlo exactamente para la esfera en tres dimensiones
Sin constante de normalización, integrar e elevado a −irω₃ sobre S².
Altura
Usar z=ω₃: la medida integrada sobre cada franja es 2π dz.
Una variable
Queda 2π∫ de −1 a uno de e elevado a −irz dz.
Resultado
Es 4π sin r/r, de tamaño como máximo 4π/r.
El exponente es uno porque la superficie tiene dimensión dos.
Los ceros del seno impiden afirmar una cota inferior de ese tamaño para todo r.
Comparar un círculo
En S¹, la fase de dirección horizontal es cos θ.
Críticos
La derivada −sin θ se anula en cero y π.
Segundas derivadas
−cos θ vale −1 y +1: ambos son no degenerados.
Escala
Cada contribución es de orden r⁻¹ᐟ² porque solo se integra una variable.
La misma idea produce una tasa distinta en una curva.
La suma de los dos principales conserva sus factores de fase y puede oscilar.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Fase lineal exacta
Calcula I(λ)=∫₋₁¹e^(iλx)dx para λ≠0.
Hipótesis
λ≠0 permite dividir por iλ.Primitiva
e elevado a iλx dividido por iλ.
Evaluar
I=(e elevado a iλ−e elevado a −iλ)/(iλ).Euler
La diferencia del numerador es 2i sin λ.
Simplificar
I=2 sin λ/λ.Comprobar
|sin λ|≤1 da |I|≤2/|λ|.Los bordes explican que no se aplique la conclusión de amplitud C∞ compacta.
I(λ)=2 sin λ/λ.
Su módulo no supera 2/|λ|.
EJEMPLO RESUELTO 2
Encontrar un crítico
Para φ(x)=x² en R, localiza y clasifica el punto crítico.
Fase
φ(x)=x².Primera derivada
φ′(x)=2x.Crítico
2x=0 tiene una única solución: x=0.Segunda derivada
φ″(x)=2, también en cero.Clasificar
Es no degenerado porque la segunda derivada no se anula.
Método
La fórmula con 1/φ′ falla cerca de cero; allí se usa el modelo cuadrático de fase estacionaria.
El crítico no degenerado está en 0.
No se puede usar la fórmula con 1/φ′ cerca de él.
Los símbolos que hemos usado
- I(λ)=∫e^iλφ(x)a(x)dx
- Integral con fase real φ, amplitud a y parámetro λ>0 que tenderá a infinito; los ejemplos exactos pueden admitir λ negativo.
- a∈C∞_c
- Amplitud suave de soporte compacto, hipótesis que elimina los términos de borde en toda la recta o Rⁿ.
- x₀ crítico
- Punto donde ∇φ(x₀)=0; en dimensión uno, φ′(x₀)=0.
- Q=D²φ(x₀)
- Hessiana real simétrica de la fase en el crítico. Es no degenerado si det Q≠0.
- sgn Q
- Firma: número de autovalores positivos menos número de autovalores negativos de la Hessiana.
- O(λ^−α)
- Cota de módulo por Cλ^−α para λ grande, con C independiente de λ pero dependiente de los datos indicados.
- Partición de unidad
- Descomposición de la amplitud mediante cortes suaves que permite estudiar por separado regiones de fase distintas.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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