Definición de derivada y reglas de derivación

Un depósito pasa de ocho a veinte litros entre los minutos uno y cuatro. Ha ganado doce litros durante tres minutos: el ritmo medio es cuatro litros por minuto. Medio significa que resume ese intervalo; no asegura que cada minuto se añadieran exactamente cuatro litros.

En una función, elegimos dos entradas a y b. La salida cambia f(b) − f(a); la entrada cambia b − a. Su cociente es la tasa media y, en una gráfica, la pendiente de la recta que une los dos puntos: una secante.

Fijamos la primera entrada x y llamamos h al cambio hasta la segunda. La segunda entrada es x+h. Si h es negativo, está a la izquierda; si es positivo, a la derecha. En el cociente de cambio usamos h ≠ 0 para tener dos entradas distintas.

f(x+h) se obtiene sustituyendo cada x de la regla por el bloque completo (x+h). No significa f(x)+h: una cosa es cambiar la entrada y otra sumar directamente a la salida.

La pendiente entre x y x+h es [f(x+h) − f(x)]/h. Conservamos x y hacemos h cada vez más pequeño por ambos lados. Si las pendientes se acercan a un mismo número real finito, ese número es f′(x), la derivada en esa entrada.

Transformamos para h distinto de cero y calculamos después el límite. En un punto interior deben estar admitidos los vecinos que estudiamos.

La recta tangente en a pasa por (a,f(a)) y tiene pendiente f′(a).

La derivada es un número en ese punto; la tangente es una recta completa.

La aproximación tiene un error que, dividido por h, tiende a cero. Si la salida mide metros y la entrada segundos, f′ mide metros por segundo. dy/dx es otra notación para la derivada, no una división ordinaria de dos números independientes.

Si una función es derivable en un punto, es continua allí. Un salto o un hueco impiden esa derivada. Pero continuidad sola no basta: puede haber una esquina con dos pendientes distintas.

Nuestra derivada es un límite real finito. Si los cocientes crecen sin cota, no hay derivada finita aunque el dibujo sugiera una tangente vertical. En un extremo del dominio solo hay derivada lateral, si se define y existe; hay que nombrarla como tal.

Una constante no cambia al mover x: su derivada es cero. La función x cambia exactamente como la entrada: su derivada es uno. Para xⁿ, con n entero positivo, la regla es nxⁿ⁻¹. La definición anterior ya explicó por qué el cuadrado produce 2x.

Los coeficientes se conservan. Para un exponente real r, (xʳ)′=rxʳ⁻¹ en x>0; en raíces y potencias negativas revisamos el dominio y sus fronteras por separado.

Al multiplicar u(x) y v(x), el cambio no procede solo de u ni solo de v. En el dibujo, al ampliar los dos lados aparece una franja por cada lado y una esquina.

Dividimos por h: v·(Δu/h)+u·(Δv/h)+(Δu/h)Δv. Si u y v son derivables, los dos primeros términos tienden a vu′ y uv′; el último tiende a cero porque Δv → 0 y Δu/h tiene límite finito.

El numerador tiene una resta con orden; el denominador completo queda al cuadrado. Conviene escribir u, v, u′ y v′ antes de montar esa expresión.

La fórmula se obtiene de u·v^(−1) usando producto y cadena: u′/v−uv′/v². Al reunir denominadores aparece la resta anterior. Simplificar una fracción puede ahorrar trabajo, pero no devuelve al dominio un punto excluido de la función original.

Cambiar x mueve u; mover u cambia y. La derivada respecto a x combina los dos efectos multiplicándolos.

Al derivar fuera dejamos el argumento completo dentro. Después derivamos la función interior. Las derivabilidades deben darse en las entradas correspondientes; una composición puede tener más de dos capas.

En eˣ la derivada vuelve a ser eˣ.

Es diferente de xᵇ: en una cambia el exponente y en otra la base.

Para log de base b se obtiene 1/(x ln b). También (ln|x|)′=1/x para x≠0, comprobando cada lado del dominio. Con un argumento interior se aplica además la cadena.

Las reglas son (sin x)′=cos x y (cos x)′=−sin x. La unidad angular importa: los límites que producen estas fórmulas usan radianes. Si la variable se midiera en grados, aparecería un factor π/180.

Como tan x=sin x/cos x, el cociente da (cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x donde cos x≠0. En una expresión compuesta derivamos además el argumento; el signo menos del coseno debe conservarse.

f′ es la función que asigna pendientes a las entradas donde existen. f′(a) es una pendiente concreta. Calculamos primero la función derivada y después sustituimos a; sustituir primero en f deja un número y destruye la información de cambio.

La segunda derivada f″ es la derivada de f′. Si f es posición respecto al tiempo, f′ es velocidad y f″ es aceleración, con unidades de longitud/tiempo². Una comprobación numérica cercana orienta, pero no reemplaza un límite o una identidad exacta.