Funciones elementales, composición e inversa

La regla f(x) = 2x + 1 primero duplica la entrada y después suma uno. Si entra cero, sale uno; si entra dos, sale cinco. f(2) nombra esa salida. Los paréntesis indican la entrada; no multiplican f por dos.

Una función f: A → B incluye un dominio A de entradas y un codominio B de llegadas permitidas. Cada entrada de A tiene exactamente una salida en B. La imagen f(A) reúne las salidas realmente alcanzadas y puede ser una parte de B. Diferentes entradas pueden compartir salida sin dejar de ser función.

Un polinomio como x² + 1 admite todo real. Un cociente exige denominador no nulo. Una raíz cuadrada real exige radicando no negativo; un logaritmo, argumento positivo y base válida. En una exponencial b^x usamos b > 0; para invertirla como logaritmo, además b ≠ 1.

Seno y coseno admiten todo real como ángulo; tangente excluye π/2 + kπ en radianes, con k entero, porque su denominador coseno es cero. El valor absoluto admite todos los reales. Si una expresión mezcla familias, todas las restricciones deben cumplirse simultáneamente.

(f ∘ g)(x) significa f(g(x)). La función de dentro g usa x y su salida se convierte en entrada de f. El circulito ∘ indica composición, no multiplicación. Para f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², primero cuadrar y luego duplicar y sumar uno da 2x² + 1.

El resultado puede cambiar porque cambia la entrada que recibe la segunda regla. El dibujo conserva las mismas dos funciones y muestra los dos recorridos desde tres.

Para f(g(x)), primero x debe pertenecer al dominio de g. Después g(x) debe pertenecer al de f.

La condición de la segunda función se impone sobre su entrada g(x), no siempre directamente sobre x.

La fórmula final puede parecer más sencilla, pero no autoriza a olvidar valores donde un paso original no tenía sentido. Resolvemos ambas condiciones y conservamos su intersección.

La inversa debe recibir una salida de f y recuperar la entrada que la produjo. Si dos entradas distintas tienen la misma salida, no puede elegir una sola y deshacer ambas. Esa ausencia de colisiones se llama inyectividad.

Para tener inversa de f: A → B definida en todo B, además cada elemento de B debe alcanzarse: sobreyectividad. Ambas propiedades juntas se llaman biyectividad. Si f es inyectiva pero B contiene valores no alcanzados, podemos hablar de inversa sobre su imagen f(A).

Escribimos y = f(x), despejamos la entrada original x en función de la salida y y después renombramos la entrada de la inversa. No intercambiamos letras como una receta que garantice inversa: antes debemos poder recuperar una sola entrada en el dominio elegido.

En una cuadrática restringida, el signo de la raíz depende de la rama.

El par (a; b) se convierte en (b; a). En un gráfico de igual escala en los dos ejes, ese intercambio refleja los puntos respecto de y = x.

La notación f⁻¹ no significa 1/f. Una es una regla que deshace; la otra divide uno entre la salida de f y puede tener otro dominio. Para la inversa de una biyección f: A → B, el dominio pasa a ser B y el codominio A.

Para una inversa de f: A → B se exige f⁻¹(f(x)) = x para cada x ∈ A y f(f⁻¹(y)) = y para cada y ∈ B. Son identidades en conjuntos declarados. Una comprobación numérica ayuda, pero el álgebra verifica todos los valores admitidos.

Comprobar solo una composición puede esconder una restricción. Con cuadrado y raíz, elevar después de sacar raíz recupera los argumentos no negativos; sacar raíz después de cuadrar devuelve |x| y no recupera entradas negativas.

La composición se define por un recorrido, no solo por la fórmula que queda al final. Para f(u) = u² y g(x) = √x, f(g(x)) se simplifica a x, pero solo se puede iniciar para x ≥ 0. La identidad resultante está restringida a ese conjunto.

Lo mismo ocurre al cancelar un denominador. Una expresión puede coincidir con una regla más sencilla donde estaba definida sin adquirir automáticamente los valores excluidos. Este cuidado prepara la diferencia entre valor en un punto y límite cerca de él.