En 4³ = 64 podemos preguntar por el resultado, por la base o por el exponente. El logaritmo responde a esta última pregunta: ¿a qué exponente elevamos cuatro para obtener sesenta y cuatro? Aprenderemos a leer sus tres piezas antes de usar propiedades o calculadora.
Si necesitas repasar:
1. Un logaritmo es el exponente que estamos buscando
log_b(A) = y significa exactamente b^y = A. b es la base, A el argumento y y el resultado del logaritmo.
El resultado tres es un exponente, no una división entre cuatro y sesenta y cuatro.
También hay exponentes cero, negativos y fraccionarios. Como b⁰ = 1 para una base válida, log_b1 = 0.
El logaritmo no tiene por qué dar un entero.
| Potencia | Logaritmo equivalente |
|---|---|
| 4³ = 64 | log₄64 = 3 |
| 4⁰ = 1 | log₄1 = 0 |
| 4^(1/2) = 2 | log₄2 = 1/2 |
| 4^(−1) = 1/4 | log₄(1/4) = −1 |
Una potencia conocida
Calcula log₃27.
Pregunta
¿Qué exponente de tres produce veintisiete?
Potencias
3² = 9; 3³ = 27.Respuesta
El exponente es tres.
log₃27 = 3.
Volvemos a 3³ = 27.
Un argumento pequeño
Calcula log₂(1/8).
Potencia positiva
2³ = 8.Recíproco
2^(−3) = 1/8.Exponente buscado
−3.
log₂(1/8) = −3.
Un logaritmo negativo puede tener perfecto significado real: el argumento sigue siendo positivo.
2. La base es positiva y distinta de uno; el argumento es positivo
Para esas bases, la función b^y recorre los valores positivos una sola vez cuando y recorre los reales. Por eso cada argumento A > 0 tiene un único logaritmo.
La base uno siempre produce uno: no puede recuperar un exponente único. Cero o una base negativa tampoco definen la función exponencial real de todos los exponentes que necesitamos. El argumento cero o negativo no tiene logaritmo real bajo esta definición.
Comprobar una escritura
Decide si log₅(−25), log₁7 y log₅25 son logaritmos reales válidos.
Primer caso
Argumento negativo: no válido en ℝ.
Segundo
Base uno: no válida.
Tercero
Base cinco y argumento positivo: válido, con resultado dos.
Solo log₅25 es válido entre esos tres.
La validez se revisa antes de intentar una cuenta.
Argumento con una letra
¿Para qué x está definido log₂(x − 3)?
Base
Dos ya es válida.
Argumento positivo
x − 3 > 0.Condición
x > 3.
Dominio real: (3; +∞).
x = 3 da logaritmo de cero, que no se admite.
3. Un producto dentro del logaritmo se convierte en suma de exponentes
El exponente que produce MN es p + q. De ahí sale log_b(MN) = log_bM + log_bN, para una base válida.
No es una regla de cambiar un símbolo por otro sin condiciones. Ambos logaritmos separados deben tener argumento positivo. Si M y N son negativos, su producto puede ser positivo, pero no podemos separarlo en dos logaritmos reales no definidos.
Sumar exponentes conocidos
Calcula log₂(4 · 8) separando el producto.
Cada factor
4 = 2² y 8 = 2³.Producto
4 · 8 = 2^(2+3).Logaritmo
2 + 3 = 5.
5.
El producto es 32 y 2⁵ = 32.
Producto positivo con factores negativos
¿Podemos escribir log₁₀[ (−2)(−5) ] = log₁₀(−2) + log₁₀(−5)?
Lado izquierdo
El producto es diez y su logaritmo vale uno.
Derecha
Los argumentos −2 y −5 no son positivos.
Dominio de la propiedad
No se cumplen sus condiciones.
No; los dos logaritmos de la derecha no están definidos en ℝ.
Que el producto sea positivo no hace positivos a sus factores.
4. Un cociente resta exponentes y una potencia los multiplica
Para M, N > 0, dividir b^p entre b^q produce b^(p−q): log_b(M/N) = log_bM − log_bN. Para M > 0 y exponente real k, (b^p)^k = b^(kp), de modo que log_b(M^k) = k log_bM.
Las condiciones también importan al trabajar con letras. log_b(x²) está definido para x ≠ 0, pero 2 log_bx solo para x > 0. Una identidad que cubre ambos signos es log_b(x²) = 2 log_b|x|, para x ≠ 0.
Cociente de potencias
Calcula log₃(81/9).
Logaritmos de factores positivos
log₃81 = 4; log₃9 = 2.Restamos
4 − 2 = 2.Comprobación directa
81/9 = 9 = 3².
2.
El cociente conserva argumento positivo.
Una potencia con base positiva
Calcula log₂(8^(2/3)).
Base interior
Ocho es positivo.
Propiedad
(2/3)log₂8 = (2/3) · 3.Resultado
Dos.
2.
8^(2/3) = 4 y log₂4 = 2.
5. Una suma dentro del logaritmo no se separa como suma de logaritmos
La propiedad anterior relaciona producto y suma de exponentes. No dice que log_b(M + N) sea log_bM + log_bN. Para una suma podemos calcular primero el argumento si conocemos sus términos, o buscar otra transformación justificada.
Un contraejemplo basta para rechazar una supuesta identidad general. Con base diez, log₁₀(10 + 10) es log₁₀20, mientras que log₁₀10 + log₁₀10 = 2. El valor dos correspondería a argumento cien, no veinte.
Una suma que sí podemos calcular directamente
Calcula log₂(4 + 4).
Primero el argumento
4 + 4 = 8.Logaritmo
log₂8 = 3.Falsa separación
log₂4 + log₂4 daría cuatro, un valor distinto.
3.
2³ = 8; 2⁴ = 16, que no es la suma dada.
Tampoco se separa una resta
Compara log₃(27 − 18) con log₃27 − log₃18.
Primera expresión
27 − 18 = 9: logaritmo dos.Segunda expresión
La propiedad de resta corresponde a log₃(27/18) = log₃(3/2).Argumentos distintos
Nueve no es tres medios.
No son una identidad.
Antes de aplicar una propiedad identificamos si dentro hay producto, cociente, potencia o suma.
6. Cambiar de base permite usar una calculadora sin cambiar el valor
En esta web, cuando escribimos log sin base en los ejercicios elementales usamos base diez; ln significa base e, donde e ≈ 2,71828. En otros contextos la notación log puede usar otra base, por eso se declara. Las dos teclas comunes permiten calcular otras bases.
Tomar logaritmo en una base válida c da y log_cb = log_cA.
Es la fórmula de cambio de base.
Un resultado fraccionario
Calcula log₄8 con cambio de base dos.
Numerador
log₂8 = 3.Denominador
log₂4 = 2.Cociente
3/2.
log₄8 = 3/2.
4^(3/2) = (√4)³ = 8.
Un logaritmo sin potencia entera evidente
Expresa log₂20 para calculadora y sitúalo entre enteros.
Cambio de base
ln20/ln2.
Cotas por potencias
2⁴ = 16 < 20 < 32 = 2⁵.Resultado
Entre cuatro y cinco; aproximadamente 4,322.
log₂20 = ln20/ln2 ≈ 4,322.
La aproximación queda en el intervalo comprobado por potencias.
7. El orden depende de la base y una escala logarítmica mide factores
Si 0 < b < 1, la potencia decrece y el logaritmo también: argumentos mayores producen logaritmos menores. No aplicamos el mismo sentido de orden a todas las bases.
En una escala logarítmica decimal, uno, diez, cien y mil ocupan pasos iguales porque sus logaritmos son cero, uno, dos y tres. Cada paso multiplica por diez; no suma diez a la cantidad original. Siempre indicamos que es una escala logarítmica.
Base entre cero y uno
Calcula log_(1/2)4 y compáralo con log_(1/2)1.
Para cuatro
(1/2)^(−2) = 4: resultado −2.Para uno
Exponente cero.
Orden
Cuatro es mayor que uno, pero −2 es menor que cero.
Los resultados son −2 y 0.
La base un medio invierte el sentido creciente del argumento.
Un salto de tres unidades logarítmicas
En base diez, un logaritmo aumenta de dos a cinco. ¿Por qué factor cambia el argumento?
Argumentos
10² = 100 y 10⁵ = 100 000.Cociente
10⁵/10² = 10³.Factor
Mil.
El argumento se multiplica por mil.
La diferencia de logaritmos corresponde al logaritmo de un cociente.
8. La comprobación vuelve a la potencia y conserva el dominio
Para aceptar log_bA = y comprobamos b^y = A y las condiciones b > 0, b ≠ 1, A > 0. Al simplificar expresiones con letras conservamos las restricciones iniciales, aunque una nueva escritura parezca admitir más valores.
La existencia de una tecla en la calculadora no sustituye la lectura. Un mensaje de error puede indicar un argumento fuera del dominio real. Y un resultado decimal debe distinguirse de un valor exacto, como 3/2.
Comprobar un resultado propuesto
Se propone log₅(1/25) = −2.
Dominio
Base cinco válida, argumento positivo.
Potencia inversa
5^(−2) = 1/5² = 1/25.Conclusión
La igualdad es correcta.
−2 es el logaritmo pedido.
El signo negativo del resultado no implica argumento negativo.
No perder valores al simplificar
Para x = −3, compara log₂(x²) con 2 log₂x.
Primera
x² = 9 > 0: log₂9 existe.Segunda
log₂(−3) no es real.
Identidad con dominio correcto
2 log₂|x| = 2 log₂3 sí reproduce log₂9.
La expresión con valor absoluto conserva los x negativos no nulos.
Simplificar no autoriza a cambiar el dominio sin decirlo.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Definición
Calcula log₂32.
Leemos
¿A qué exponente elevamos dos para obtener treinta y dos?
Potencias
2⁴ = 16 y al multiplicar por dos aparece 2⁵ = 32.Resultado
log₂32 = 5.Comprobación
2⁵ = 32 y base y argumento son válidos.
5.
2⁵=32.
EJEMPLO RESUELTO 2
Usar propiedades
Calcula log₁₀(1000/10).
Dominio
Mil y diez son positivos; la base diez es válida.
Propiedad de cociente
log₁₀(1000/10) = log₁₀1000 − log₁₀10.Exponentes
3 − 1 = 2.Comprobación directa
1000/10 = 100 y 10² = 100.
2.
1000/10=100 y log₁₀100=2.
Los símbolos que hemos usado
- a
- Base real del logaritmo, con a>0 y a≠1.
- x
- Argumento real positivo del logaritmo.
- y=logₐx
- Exponente real único que cumple aʸ=x.
- log₁₀x
- Logaritmo decimal, de base diez.
- ln x
- Logaritmo natural, de base e.
- e
- Constante positiva aproximadamente 2,71828, usada como base de la exponencial natural.
- c
- Base auxiliar válida en una fórmula de cambio de base.
- |x|
- Valor absoluto, útil para expresar logaritmos de cuadrados sin exigir x positivo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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