Un exponente entero cuenta multiplicaciones; uno fraccionario incorpora una raíz. Para no convertirlo en una regla de mover números, empezaremos preguntando qué operación debe deshacer. Después simplificaremos radicales y racionalizaremos denominadores, conservando siempre el significado real y las restricciones.
Si necesitas repasar:
1. El denominador del exponente indica qué raíz necesitamos
Para una base positiva a, a^(1/n) es la raíz n-ésima positiva: el número que elevado a n da a.
El denominador tres no divide la base: pide una raíz cúbica.
Podemos extraer primero la raíz si facilita la cuenta.
Raíz antes de potencia
Calcula 125^(2/3).
Denominador tres
Raíz cúbica de 125: cinco.
Numerador dos
Elevamos cinco al cuadrado.
Resultado
5² = 25.
25.
25³ = 125² = 15 625; usamos la raíz positiva.
Un exponente negativo
Calcula 16^(−3/4).
Raíz cuarta
16^(1/4) = 2.Potencia positiva
16^(3/4) = 2³ = 8.Recíproco
16^(−3/4) = 1/8.
1/8.
No cambia el resultado a −8: un exponente negativo no es un signo menos delante.
2. Cero y bases negativas se estudian antes de aplicar propiedades
Cero elevado a un exponente positivo vale cero. Un exponente negativo exigiría dividir entre cero y no está definido. En este tema no asignamos valor a 0⁰. Para una base negativa, una raíz de índice par no es real; una de índice impar sí puede serlo.
Para definir una potencia racional de base negativa reducimos primero m/n a fracción irreducible con denominador positivo. Si ese denominador es impar, usamos la raíz real impar y después la potencia entera. No aplicamos sin más todas las leyes de base positiva a estas bases.
Raíz par e impar
Compara (−8)^(1/3) y (−8)^(1/2) en los reales.
Raíz cúbica
(−2)³ = −8, así que la primera vale −2.Raíz cuadrada real
Ningún real al cuadrado es negativo.
Dominio
La segunda no tiene valor real.
−2 para el exponente un tercio; no real para un medio.
El índice de la raíz determina qué bases negativas se admiten.
Reducir el exponente evita ambigüedad
Interpreta (−8)^(2/6) con la convención declarada.
Fracción irreducible
2/6 = 1/3.Denominador impar
La potencia real vale raíz cúbica de −8: −2.
Operación diferente
⁶√[ (−8)² ] = ⁶√64 = 2; esa reordenación no conserva aquí la potencia definida.
(−8)^(2/6) = −2 bajo esta convención.
El ejemplo explica por qué restringimos las reglas generales a bases positivas.
3. Con base positiva las leyes mantienen su sentido
En el cociente la potencia del denominador es positiva y no se anula. La suma de exponentes corresponde a un producto de potencias con la misma base.
No existe una regla que convierta a^r + a^s en a^(r+s). Tampoco multiplicamos exponentes cuando simplemente multiplicamos potencias. Decidimos primero qué operación tenemos.
Producto y cociente de la misma base
Simplifica 9^(1/2) · 9^(3/2) / 9.
Misma base positiva
9 = 9¹.Combinamos exponentes
1/2 + 3/2 − 1 = 1.Potencia final
9¹ = 9.
9.
Cuenta directa: 3 · 27 / 9 = 9.
Potencia de una potencia
Calcula (32^(2/5))^(1/2).
Base positiva
Podemos multiplicar exponentes.
Producto
(2/5)(1/2) = 1/5.Raíz quinta
32^(1/5) = 2.
2.
Primero 32^(2/5) = 4 y después √4 = 2.
4. Separar radicales también tiene condiciones de dominio
Para raíces cuadradas reales, √(ab) = √a · √b cuando a y b son no negativos.
Esas condiciones garantizan que cada raíz y el cociente estén definidos.
No basta que el producto o cociente final sea positivo si las raíces separadas dejan de ser reales. Las raíces impares tienen otras condiciones: admiten radicandos negativos y en un cociente solo hay que evitar denominador cero. No mezclamos ambos casos.
Una fracción de cuadrados
Calcula (25/36)^(1/2).
Dominio
Numerador no negativo y denominador positivo.
Separamos
√25/√36.
Raíces principales
5/6.
5/6.
(5/6)² = 25/36 y el resultado es no negativo.
Una separación que sale del dominio real
Compara √[ (−4)/(−1) ] con √(−4)/√(−1).
Antes de separar
El cociente es cuatro y su raíz principal es dos.
Después de separar
Las dos raíces de números negativos no son reales.
Conclusión
No se puede usar la propiedad real con esos factores.
La primera expresión vale 2 en ℝ; la segunda no está definida en ℝ.
Una igualdad de propiedades requiere que sus términos tengan significado en el dominio usado.
5. Al sacar cuadrados perfectos conservamos la raíz no negativa
El dibujo reúne dieciséis casillas de área tres en un cuadrado de lado cuatro veces √3.
El símbolo √ elige la raíz cuadrada no negativa; resolver t² = x² puede dar dos signos, pero evaluar √(x²) es una operación de valor único. Para una raíz cúbica, ∛(x³) = x sin valor absoluto.
Un factor cuadrado visible
Simplifica √75.
Descomponemos
75 = 25 · 3.Raíz del cuadrado
√25 = 5.Producto
√75 = 5√3.
5√3.
(5√3)² = 25 · 3 = 75 y es positivo.
La letra puede ser negativa
Simplifica √(9x²) para x real y prueba x = −2.
Factor positivo
√9 = 3.Raíz del cuadrado de x
|x|.
Prueba
3|−2| = 6; la raíz original es √36 = 6.
3|x|.
La expresión 3x daría −6 en la prueba y no puede ser la raíz principal.
6. Racionalizar multiplica arriba y abajo por el mismo factor no nulo
Racionalizar busca una expresión equivalente sin radical en el denominador; no cambia el número. Para 1/√3 multiplicamos por √3/√3, que vale uno. El denominador se vuelve tres y queda √3/3.
Antes de transformar comprobamos que el denominador original no sea cero y que el factor elegido tampoco lo sea. Con raíces de otros índices podemos completar una potencia perfecta: para 1/∛2, multiplicar por ∛4 produce ∛8 = 2 abajo.
Una raíz cuadrada en el denominador
Racionaliza 2/√5.
Factor igual a uno
Multiplicamos por √5/√5.
Numerador
2√5.
Denominador
√5 · √5 = 5.
2√5/5.
Al multiplicar el resultado por √5 se recupera dos.
Completar un cubo
Racionaliza 1/∛2.
Qué falta
Dos por cuatro es ocho, un cubo perfecto.
Factor
Multiplicamos arriba y abajo por ∛4.
Resultado
∛4/∛8 = ∛4/2.
∛4/2.
El producto de denominadores se justifica también con raíces impares reales.
7. El conjugado hace desaparecer una raíz mediante diferencia de cuadrados
Las expresiones u + v y u − v son conjugadas en este contexto. Su producto es u² − v² porque los términos cruzados se cancelan. Si u y v son raíces cuadradas, esos cuadrados eliminan los radicales del denominador.
La equivalencia solo se usa donde el factor por el que multiplicamos no sea cero. Por ejemplo, transformar 1/(√x + 1) en (√x − 1)/(x − 1) exige x ≥ 0 y x ≠ 1; el original sí estaba definido en uno. Conservamos ese caso aparte en lugar de perderlo.
Dos raíces diferentes
Racionaliza 1/(√5 + √2).
Conjugado
√5 − √2, que no es cero.
Denominador
(√5 + √2)(√5 − √2) = 5 − 2 = 3.Numerador
√5 − √2.
(√5 − √2)/3.
Multiplicar por √5 + √2 devuelve uno.
Una diferencia con un entero
Racionaliza 2/(3 − √5).
Conjugado
3 + √5.
Producto inferior
9 − 5 = 4.Simplificamos
2(3 + √5)/4 = (3 + √5)/2.
(3 + √5)/2.
El denominador inicial es positivo y no nulo; el factor elegido tampoco es cero.
8. Comprobamos con la operación inversa y con el dominio
Para una raíz elevamos al índice y verificamos también el signo requerido. Para una racionalización multiplicamos por el denominador original. En expresiones con letras probamos valores negativos, cero y fronteras sin reemplazar por esas pruebas la justificación general.
Si la comprobación produce una cantidad no real o una división entre cero, no es solo una cuenta pendiente: hay una restricción que debe declararse. Las reglas que usamos son identidades en sus dominios, no instrucciones válidas para cualquier escritura.
Raíz principal frente a ecuación
Compara √9 con resolver t² = 9.
Evaluar √9
Elige la raíz no negativa: tres.
Resolver la ecuación
Tanto tres como menos tres tienen cuadrado nueve.
Resultados distintos
Una evaluación da un valor; una ecuación pide todos los valores que cumplen.
√9 = 3; t² = 9 tiene soluciones t = ±3.
Escribir √9 = ±3 confundiría las dos tareas.
Una potencia de potencia que falla fuera de las condiciones
Compara [(−1)²]^(1/2) con (−1)^(2 · 1/2).
Primera
Dentro vale uno; √1 = 1.Segunda
El exponente vale uno; resultado −1.
Dominio de la ley general
La regla de multiplicar exponentes se garantizó aquí para base positiva.
Dan 1 y −1, respectivamente.
Este contraejemplo impide usar esa regla indiscriminadamente en bases negativas.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una potencia racional
Calcula 27^(2/3).
Raíz indicada
El denominador tres del exponente pide raíz cúbica.
Base
∛27 = 3.Numerador dos
Elevamos al cuadrado: 3² = 9.Comprobamos
9³ = 729 = 27²; la base positiva permite ambas formas de calcular.
9.
9³=27²=729.
EJEMPLO RESUELTO 2
Racionalizar
Racionaliza 3/√2.
Dominio
√2 es positivo y no nulo.
Multiplicamos por uno
(3/√2)(√2/√2).
Productos
Numerador 3√2; denominador dos.
Resultado
3√2/2.
Comprobación
(3√2/2) · √2 = 3 · 2/2 = 3.
3√2/2.
Multiplicar el resultado por √2 devuelve 3.
Los símbolos que hemos usado
- p/q
- Exponente racional en fracción reducida, con p entero y q entero positivo.
- a^(1/q)
- Raíz q-ésima de a bajo la convención real correspondiente.
- a^(p/q)
- Para a>0, la potencia (raíz q-ésima de a)^p.
- Radicando
- Cantidad contenida dentro de una raíz.
- Índice q
- Potencia que deshace la raíz; su paridad determina el dominio real.
- |x|
- Valor absoluto, necesario al extraer cuadrados de variables sin signo conocido.
- Conjugado
- Expresión que conserva dos términos y cambia el signo que los une.
- Racionalizar
- Obtener una fracción equivalente cuyo denominador no contenga los radicales tratados.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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