Un intervalo reúne todos los números reales de una zona de la recta. Para unir dos intervalos buscamos dónde aparece al menos uno. Para intersectarlos buscamos dónde aparecen los dos a la vez. Primero aprenderemos a leer cada extremo; después haremos ambas operaciones sobre el mismo dibujo.
Si necesitas repasar:
1. El trazo incluye todos los reales; el extremo tiene su propia regla
Para a<b, (a,b) significa a<x<b: ambos extremos quedan fuera. [a,b] significa a≤x≤b: ambos entran. En [a,b) solo entra a; en (a,b] solo entra b. Un punto lleno marca inclusión y uno vacío exclusión.
Entre dos extremos están también decimales y fracciones, no solo enteros. La coma del intervalo separa extremos; si usamos coma decimal, podemos separarlos con punto y coma para evitar confusión.
Comprobar un extremo y un punto intermedio
I=(−1,2].
−1
No pertenece porque el paréntesis lo excluye.
2
Sí pertenece porque el corchete lo incluye.
1/2
Sí pertenece: −1<1/2≤2.
Cada número se decide con las desigualdades, no con que sea entero.
El punto 2,1 queda fuera porque supera la cota superior.
Leer decimales sin confundir separadores
I=[−0,5;1,2), escrito con coma decimal.
Significado
−0,5≤x<1,2.Pertenecen
−0,5 y 0,7 sí cumplen esas condiciones.
No pertenece
1,2 coincide con el extremo abierto.
El punto y coma separa aquí los dos extremos.
No se interpreta como una lista de cuatro números.
2. Infinito no es un extremo incluido; a veces queda un punto o nada
Junto a ∞ siempre escribimos paréntesis porque no es un número real que pueda pertenecer. Toda ℝ es (−∞,∞).
Si se excluye a por cualquiera de sus lados, queda vacío. También se obtiene vacío si las restricciones exigen estar a la vez por encima de una cota mayor y por debajo de otra menor.
Una sola cota y un lado sin límite
I=(−∞,−2].
Condición
x≤−2.Ejemplos
−10 y −2 pertenecen; −1 no.
Infinito
No hay un «primer real» −∞ dentro del conjunto.
El corchete solo puede aplicarse aquí al extremo real −2.
Se pueden tomar números arbitrariamente negativos sin incluir un infinito.
Punto frente a conjunto vacío
Comparamos [3,3], (3,3] y la condición 5≤x≤2.
Un punto
[3,3]={3} porque 3≤x≤3 obliga a x=3.Extremo excluido
(3,3] exigiría 3<x≤3: imposible.Orden inverso
5≤x≤2 también es imposible.
Puede quedar un singleton o el vacío; no se dibuja siempre un segmento positivo.
Un singleton sí es un intervalo degenerado.
3. Unión significa pertenecer a uno, al otro o a ambos
x pertenece a A∪B si pertenece a A o a B. El «o» es inclusivo: los puntos que están en ambos también entran. En el dibujo basta que haya al menos una de las líneas originales sobre esa posición.
Dibujamos las dos filas sobre la misma escala. Su zona cubierta va de −2 a 5 sin hueco, y ambos extremos exteriores pertenecen a alguno de los intervalos.
Recorrer la cobertura de dos intervalos solapados
A=[−2,3), B=(1,5].
Izquierda
Desde −2 hasta 1 cubre A; −2 entra.
Zona común y derecha
Entre 1 y 3 cubren ambos; desde 3 hasta 5 cubre B. El 3 sí está en B.
Unir
A∪B=[−2,5].El punto 1 también está cubierto por A.
No hace falta pertenecer a las dos filas para estar en la unión.
Los extremos interiores abiertos de una fila pueden estar cubiertos por la otra.
Dos intervalos que solo se tocan
[−1,1]∪(1,4).
Contacto
El primer intervalo sí contiene 1.
Cobertura
A la izquierda y a la derecha de 1 hay números cubiertos.
Extremos
−1 entra y 4 no: la unión es [−1,4).
Con al menos una inclusión del punto de contacto se puede unir sin hueco.
No se exige que ambos intervalos incluyan ese punto.
4. Un hueco no se rellena por unir los extremos exteriores
Si una zona no pertenece a ninguno de los conjuntos, tampoco pertenece a su unión. Cuando hay separación se conservan varias piezas. No se une un extremo exterior con el otro añadiendo números nuevos.
También importa un hueco de un solo punto. (0,2)∪(2,4) no contiene 2, aunque incluya números tan próximos a él como queramos por ambos lados. Esa ausencia impide escribirlo como (0,4).
Un hueco de longitud positiva
[−3,−1]∪[2,4].
Piezas
Se conserva la zona de −3 a −1 y la de 2 a 4.
Control
0 no pertenece a ninguna.
No fusionar
[−3,4] incluiría 0 y muchos números que no estaban.
La respuesta mantiene dos intervalos separados.
La unión no significa completar todo lo que hay entre ellos.
Cambiar un punto cambia el resultado
Comparamos (0,2)∪(2,4) con [0,2]∪(2,4).
Primer caso
2 queda fuera de ambos: sigue habiendo dos piezas.
Segundo
2 pertenece al primer intervalo y ya no falta ese punto.
Unir el segundo
El resultado es [0,4), incluyendo 0 y excluyendo 4.
Cercanía y pertenencia no son la misma cosa.
Un círculo vacío en ambos intervalos deja el punto fuera de la unión.
5. Intersección significa cumplir las dos restricciones a la vez
x pertenece a A∩B solo si está en A y en B. Sobre las rectas, buscamos las posiciones cubiertas en ambas filas. La cota inferior efectiva es la mayor y la superior la menor; después revisamos si sus extremos pertenecen a los dos conjuntos.
Si la cota inferior es menor que la superior, queda un tramo. Si coinciden, queda ese punto solo cuando ambos lo incluyen. Si la inferior supera la superior, la intersección es vacía.
Ahora intersectamos los mismos intervalos de la unión
A=[−2,3) y B=(1,5].
Cotas
Se necesita x>1 para B y x<3 para A.Extremos
1 falla en B y 3 falla en A; ambos quedan fuera.
Resultado
A∩B=(1,3); por ejemplo 2,5 pertenece a las dos filas.
La unión era [−2,5], pero la intersección conserva solo lo común.
No se decide un corchete por una sola fila: deben cumplirlo todas.
El contacto puede ser punto o vacío
Comparamos [−2,3]∩[3,7] con [−2,3)∩[3,7].
Primer caso
3 pertenece a ambos y ningún otro número puede estar a los dos lados: resultado {3}=[3,3].
Segundo
3 queda fuera del primer intervalo: resultado ∅.
Separación
Si usamos (−∞,1)∩[2,3], tampoco hay punto común porque x<1 y x≥2 son incompatibles.
Mirar solo que las cotas se tocan no basta.
La inclusión del contacto se comprueba en todos los intervalos.
6. Complemento y diferencia necesitan saber qué universo usamos
El complemento Aᶜ en un universo U reúne los elementos de U que no están en A. En ℝ, el complemento de un intervalo acotado suele tener dos piezas exteriores.
La diferencia A∖B conserva los puntos de A que no están en B: A∖B=A∩Bᶜ, con el mismo universo. No intercambiamos los conjuntos: quitar B de A no suele dar lo mismo que quitar A de B.
El mismo A, dos universos
A=[−1,2).
En ℝ
Aᶜ=(−∞,−1)∪[2,∞).−1 estaba dentro y sale; 2 estaba fuera y entra.
En U=[−2,4]
El complemento relativo es [−2,−1)∪[2,4].
Comparar
No se añaden números fuera de U en el segundo caso.
El universo forma parte de la respuesta.
No se cambian los corchetes sin comprobar qué desigualdad se niega.
Quitar un intervalo de otro
C=[−2,6], D=(0,3].
Mantener
C∖D solo puede contener puntos de C.
Contacto
0 se queda porque D no lo contiene; 3 se elimina porque sí está en D.
Resultado
C∖D=[−2,0]∪(3,6].
El resultado puede dividirse aunque C fuera un solo intervalo.
D∖C es vacío aquí y por eso no coincide con C∖D.
7. Negar una unión y negar una intersección son operaciones diferentes
No estar en A∪B significa no estar en A y tampoco en B.
En cambio, no estar en A∩B solo pide que falle alguna de las dos pertenencias: (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.
Son las leyes de De Morgan. Ambas usan complementos en el mismo universo. Podemos entenderlas con una pregunta sobre cada número antes de memorizar símbolos.
Negar «al menos una» exige fallar ambas
A=[0,2], B=[1,3], universo ℝ.
Unión
A∪B=[0,3].Fuera
Su complemento es (−∞,0)∪(3,∞).
Condición
Es exactamente estar fuera de A y fuera de B a la vez; 1,5 no cumple ninguna de esas exclusiones.
El complemento de la unión es la intersección de complementos.
El punto 0 o el 3 no está en ese complemento porque sí pertenece a la unión.
Negar «ambas» solo exige fallar alguna
Los mismos A y B.
Intersección
A∩B=[1,2].Fuera
Su complemento es (−∞,1)∪(2,∞).
Ejemplo
0,5 pertenece a A, pero no a B: por eso no pertenece a la intersección y sí a su complemento.
No hace falta estar fuera de los dos para estar fuera de la intersección.
Esto explica por qué aparece una unión de complementos.
8. Menor real, ínfimo y menor entero no son la misma pregunta
En (a,b) con a<b no hay menor ni mayor real: desde cualquier punto se puede avanzar hacia un extremo sin alcanzarlo. a es el ínfimo, la mayor cota inferior; b el supremo, la menor cota superior. En [a,b] sí se alcanzan y son mínimo y máximo.
Buscar solo enteros restringe el conjunto. Un extremo entero abierto no cuenta y se prueba el siguiente hacia dentro. Un intervalo con muchos reales puede no contener ningún entero.
Un extremo incluido y el otro abierto
I=[2,5).
Reales
Mínimo real 2; no hay máximo real. El supremo es 5.
Enteros
Son 2,3,4.
Máximo entero
Es 4, aunque no haya máximo real.
El tipo de número buscado cambia la respuesta.
No se informa 5 como elemento de I porque está excluido.
Un intervalo sin enteros y sin extremos reales alcanzados
I=(2,3).
Enteros
Ni 2 ni 3 entran y no hay otro entero entre ellos.
Sin mínimo
Para cualquier x∈I, (2+x)/2 sigue en I y es menor.Sin máximo
(x+3)/2 sigue en I y es mayor; ínfimo 2 y supremo 3.
Hay infinitos reales, pero ningún entero y ningún mínimo ni máximo real.
Las cotas pueden existir sin pertenecer al conjunto.
9. Comprueba zonas y extremos antes de escribir la respuesta final
Primero traducimos cada intervalo a desigualdades. Después identificamos si la operación pide «o» o «y», dibujamos sobre una escala común y revisamos regiones y extremos. Un número del posible hueco es un control útil contra una fusión incorrecta.
Unión e intersección son conmutativas y asociativas; se pueden ordenar y agrupar sus piezas sin cambiar el conjunto.
Esas identidades sirven para revisar el alcance de una respuesta.
Una comprobación de pertenencia detecta una unión inventada
Se propone que [0,1]∪[3,5]=[0,5].
Punto de control
2 pertenece al resultado propuesto [0,5].
Originales
2 no está en [0,1] ni en [3,5].
Corregir
Se mantiene [0,1]∪[3,5], con su hueco.
Una sola pertenencia distinta basta para refutar la igualdad de conjuntos.
Comprobar solo los extremos exteriores no habría detectado el fallo.
El complemento vuelve al universo elegido
U=[−2,4] y A=[−1,2).
Separar
Cada punto de U está en A o en su complemento relativo, pero no en ambos.
Unir
A∪Aᶜ=U=[−2,4].Intersectar
A∩Aᶜ=∅.
La identidad no produce toda ℝ cuando U es menor.
Se conserva el mismo universo durante todas las operaciones.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Unión con contacto
Halla [−1,2]∪(2,5).
Operación
[−1,2]∪(2,5) pide estar en al menos uno.
Primera pieza
Incluye desde −1 hasta 2, ambos incluidos.
Contacto
2 pertenece a la primera, aunque la segunda lo excluya.
Segunda pieza
Cubre los números mayores que 2 y menores que 5.
Resultado
No hay hueco: [−1,5).
Comprobar
−1 entra y 5 no pertenece a ninguno.
[−1,5).
2 está cubierto por el primer conjunto.
EJEMPLO RESUELTO 2
Intersección sin contacto
Halla (−∞,3)∩[3,8].
Operación
(−∞,3)∩[3,8] pide pertenecer a los dos.
Primera condición
x<3.Segunda
3≤x≤8.Contacto
El único posible contacto sería 3, excluido por la primera.
Resultado
No hay soluciones: conjunto vacío.
Comprobar
Ningún real puede cumplir x<3 y x≥3 simultáneamente.
Conjunto vacío.
El valor de contacto 3 no pertenece al primer intervalo.
Los símbolos que hemos usado
- x∈A
- El número x pertenece al conjunto A.
- A∪B
- Unión: números que están en A o en B, o en ambos.
- A∩B
- Intersección: números que están simultáneamente en A y B.
- ∅
- Conjunto vacío, sin elementos.
- ℝ
- Conjunto de los números reales, que será el universo usual.
- Aᶜ
- Complementario de A dentro del universo declarado.
- ±∞
- Símbolos de ausencia de cota, que no son números reales.
- A∖B
- Diferencia: elementos de A que no pertenecen a B.
- U
- Universo declarado: todos los elementos entre los que se calcula un complemento.
- Ínfimo y supremo
- La cota inferior más ajustada y la superior más ajustada; no necesitan pertenecer al conjunto.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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