Una asíntota es una recta que describe una tendencia. A veces la entrada se acerca a un número y las salidas crecen sin cota; otras veces la entrada se aleja y la gráfica se aproxima a una recta. Vamos a distinguir esas preguntas con límites y dibujos.
Si necesitas repasar:
1. Primero distinguimos qué cantidad se está acercando y cuál crece
Una vertical x=a se relaciona con f(x) que diverge cuando x se acerca a una entrada finita a. Una horizontal y=L o una oblicua y=mx+b se relaciona con el error respecto a esa recta cuando x tiende a +∞ o −∞.
Se estudia cada dirección por separado. La función puede oscilar, cambiar de lado o cruzar la recta y seguir teniendo esa asíntota. No se define por lo que parece en una ventana finita.
Una misma función muestra dos preguntas
f(x)=1+2/(x−1).
Cerca de uno
El denominador se acerca a cero y el cociente crece sin cota con signo lateral.
Lejos
Cuando |x| crece, 2/(x−1) tiende a cero.
Rectas
x=1 es vertical; y=1 horizontal en ambos extremos.
La primera fija una entrada; la segunda fija una altura de llegada.
No se intercambian x=1 e y=1.
Una recta oblicua se comprueba restándola
g(x)=2x−1+3/x, x≠0.
Candidata
y=2x−1.Error
g(x)−(2x−1)=3/x.Extremos
Ese error tiende a cero en +∞ y −∞.
La recta es oblicua en ambos extremos.
Su pendiente es dos, distinta de cero.
2. Para una vertical basta una divergencia lateral
x=a es asíntota vertical si al menos un límite lateral de f cuando x→a vale +∞ o −∞. Los lados pueden tener signos distintos, o existir solo uno dentro del dominio.
Asignar un valor aislado en a no cambia esos límites, que usan entradas distintas de a. Lo decisivo es la divergencia cercana, no simplemente que f(a) esté sin definir.
Los dos lados pueden alejarse en sentidos opuestos
f(x)=1+2/(x−1).
Izquierda
x−1 es negativo y pequeño: f(x)→−∞.Derecha
x−1 es positivo y pequeño: f(x)→+∞.Recta
Los dos comportamientos justifican x=1 como vertical.
No es necesario un mismo infinito bilateral.
Sumar uno no elimina la divergencia del cociente.
Una función puede llegar solo por un lado
f(x)=ln(x−2).
Dominio
x>2: cerca de dos solo hay entradas por la derecha.
Límite
x−2→0⁺ implica ln(x−2)→−∞.Conclusión
x=2 es vertical sin exigir una llegada izquierda fuera del dominio.
Una divergencia lateral permitida es suficiente.
Si se añadiera un valor aislado en dos, este no modificaría esa llegada.
3. Un denominador cero puede dejar una vertical o un hueco
En una racional, los ceros del denominador son candidatos que requieren estudiar el cociente. Si el numerador no se anula, aparece divergencia. Si se anulan ambos, factorizamos antes de concluir.
Un límite finito después de cancelar describe un hueco, no una vertical. Si quedan factores de denominador que se anulan con mayor orden, la divergencia puede persistir. Las exclusiones originales se conservan al simplificar.
Una cancelación deja altura finita
f(x)=(x²−4)/(x−2).
Dominio
x≠2.Factorizar
f=(x−2)(x+2)/(x−2)=x+2 para x≠2.Límite
Al acercarse a dos tiende a cuatro: hueco, no vertical.
La sustitución 0/0 no era suficiente para decidir.
La función original sigue sin estar definida en dos.
Una copia de denominador permanece
g(x)=(x²−4)/(x−2)².
Cancelar una copia
g=(x+2)/(x−2), x≠2.Cerca de dos
El numerador se acerca a cuatro, no a cero.
Divergencia
Queda una vertical x=2, con signos opuestos según el lado.
No se borran dos copias con un solo factor.
El orden de anulación distingue este caso del anterior.
4. Una horizontal describe un límite finito y puede cruzarse
y=L es horizontal en un extremo si f(x)→L allí, con L real finito. Equivale a f(x)−L→0. +∞ y −∞ se comprueban por separado y pueden dar distintas alturas.
Cruzar la recta en una entrada no contradice el límite. Una función también puede cruzarla muchas veces mientras su error se hace pequeño. No se exige acercamiento monótono ni permanecer siempre por un lado.
Cruzar y seguir aproximándose
f(x)=(x−1)/(x²+1).
Límite
Dividir por x² muestra que tiende a cero en ambos extremos.
Cruce
f(1)=0: pasa por la horizontal y=0.Justificación
Para |x|≥1, |f(x)|≤2/|x|, que tiende a cero.
La horizontal sí puede tocarse y cruzarse.
El numerador cambia de signo en uno y el denominador siempre es positivo.
Los dos extremos pueden tener alturas diferentes
h(x)=x/√(x²+4).
Reescribir
h=(x/|x|)/√(1+4/x²) para x≠0.Extremo positivo
x/|x|=1: límite uno.Extremo negativo
x/|x|=−1: límite menos uno.
Horizontal y=1 en +∞ y y=−1 en −∞.
No se sustituye √(x²) por x en el extremo negativo.
5. Para una oblicua no basta encontrar una pendiente
Podemos buscar m=lim f(x)/x y después b=lim[f(x)−mx], siempre en el mismo extremo.
El primer límite solo propone una pendiente. Hace falta que el segundo sea finito.
Si el error final no desaparece, no hemos encontrado una recta asíntota.
Una separación exacta muestra el error
f(x)=2x−1+3/x.
Pendiente
f(x)/x=2−1/x+3/x²→2.Ordenada
f(x)−2x=−1+3/x→−1.Verificar
f(x)−(2x−1)=3/x→0.
Oblicua y=2x−1 en ambos extremos.
El término que desaparece también cuantifica el error.
Una pendiente candidata sin ordenada finita
g(x)=x+√x en [0,∞).
Pendiente
g(x)/x=1+1/√x→1 en +∞.Diferencia
g(x)−x=√x→+∞.Conclusión
No existe b finito: no hay una recta oblicua y=x+b.
Una tasa relativa parecida no basta.
Restar cualquier constante a √x seguiría sin dar límite cero.
6. En racionales los grados explican atajos, no sustituyen el razonamiento
Si el numerador tiene menor grado que el denominador, la horizontal es y=0. Si sus grados coinciden, es el cociente de coeficientes principales. Se ve dividiendo por la potencia mayor del denominador.
Si el grado superior excede en uno, la división polinómica produce una parte lineal más un resto que tiende a cero. Con diferencia mayor puede aparecer una aproximación polinómica curva, que no es una asíntota oblicua recta.
Dos cocientes con horizontales distintas
Comparar (3x+2)/(x²+1) y (5x²+2)/(2x²−1).
Primer cociente
Al dividir por x², numerador tiende a cero y denominador a uno: límite cero.
Segundo
Al dividir por x² queda (5+2/x²)/(2−1/x²): límite 5/2.
Extremos
En ambas direcciones se obtienen esas mismas alturas.
Las horizontales son y=0 e y=5/2.
Las posibles singularidades finitas son otra comprobación.
La división decide si la aproximación es una recta
Comparar (2x²+x+4)/(x+1) con (x³+1)/x.
Primera
Dividir da 2x−1+5/(x+1): oblicua y=2x−1.Segunda
Da x²+1/x: el error respecto a x² tiende a cero.
Nombre
x² es una parábola de aproximación, no una oblicua recta.
La diferencia de grados anticipa la forma del cociente.
En ambos casos se comprueba el resto dividido, no solo el grado.
7. Revisamos cada extremo y cada frontera del dominio
Una función puede tener varias componentes de dominio y muchas verticales.
Una racional solo tiene un número finito de candidatos, entre las raíces de su denominador.
La función √(x²+9) crece como |x|: puede aproximarse a rectas distintas en los dos extremos. Las raíces y logaritmos también pueden tener fronteras con aproximación de un solo lado.
Una raíz que obliga a separar signos
Buscar rectas para f(x)=√(x²+9).
En +∞
f−x=9/[√(x²+9)+x]→0: recta y=x.En −∞
f+x=9/[√(x²+9)−x]→0: recta y=−x.Motivo
Los dos denominadores crecen positivamente en su extremo correspondiente.
No hay una única recta que sirva igual en ambas direcciones.
La racionalización verifica exactamente cada error.
Una familia infinita de verticales
Estudiar tanx=sinx/cosx.
Candidatos
cosx=0 en π/2+kπ.Numerador
Allí sinx es ±1, no cero.
Laterales
El denominador se acerca a cero con signo: hay divergencia en esos puntos.
Cada una de esas rectas x=π/2+kπ es vertical.
No se confunden los ceros del seno con los del denominador.
8. La comprobación final controla el error, no solo la apariencia
Para una vertical revisamos el término que diverge y su signo lateral. Para una horizontal u oblicua restamos la recta y demostramos que el error tiende a cero.
Una asíntota describe un extremo y puede ser mala aproximación cerca del origen o de un polo. Los cortes, extremos y signos de la curva siguen siendo datos adicionales. Una ventana gráfica no sustituye una prueba de límite.
Convertir el error en una tolerancia concreta
Usar f(x)=2x−1+3/x.
Error exacto
|f(x)−(2x−1)|=3/|x|.Pedir menos de 0,01
3/|x|<0,01 exige |x|>300.Interpretar
A partir de esas entradas la diferencia vertical con la recta es menor que una centésima.
El límite permite cuantificar la aproximación.
En x=1 el error sería tres: no tiene por qué ser buena allí.
Un valor aislado no elimina una vertical
Definir g(x)=1/x para x≠0 y g(0)=7.
Punto
La función sí tiene un valor en cero.
Llegadas
Al acercarse a cero por entradas no nulas, 1/x diverge con los signos laterales.
Recta
x=0 sigue siendo una asíntota vertical.
No se usa estar sin definir como definición de asíntota.
La asignación puntual y el comportamiento cercano son datos distintos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un cociente sencillo
Encuentra las asíntotas de f(x)=(2x+1)/(x−3).
Dominio
x≠3.Dividir
(2x+1)/(x−3)=2+7/(x−3).Vertical
En tres queda numerador del resto siete: la función diverge lateralmente.
Horizontal
Cuando x→±∞, 7/(x−3)→0.Resultado
x=3 vertical; y=2 horizontal en ambos extremos.Verificar
f−2=7/(x−3) es el error exacto que desaparece en infinito.
Vertical x=3; horizontal y=2.
El límite de f−2 es cero.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una oblicua
Halla la asíntota de f(x)=(x²+1)/x.
Dominio
x≠0.Separar
(x²+1)/x=x+1/x.Oblicua
Restar y=x deja 1/x→0 en ambos extremos.Vertical
En cero, el numerador original tiende a uno y el denominador a cero.
Resultado
Oblicua y=x y vertical x=0.Verificar
La primera describe infinito; la segunda la aproximación a una entrada finita.
Oblicua y=x; vertical x=0.
La recta oblicua cumple exactamente la definición de error que tiende a cero.
Los símbolos que hemos usado
- x=a
- Posible recta asíntota vertical.
- y=L
- Posible asíntota horizontal de altura finita L.
- y=mx+b
- Posible asíntota oblicua con pendiente m≠0.
- x→a⁻,x→a⁺
- Aproximaciones laterales al punto a.
- f(x)−(mx+b)
- Error vertical respecto a una recta candidata.
- ±∞
- Tendencias sin cota, que no son valores reales de salida.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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