Si primero duplicamos una entrada, sumamos uno y después elevamos al cubo, cada paso contribuye al cambio final. La regla de la cadena permite seguir esas capas sin expandir toda la potencia. Empezaremos separando las operaciones para no perder ningún factor.
Si necesitas repasar:
1. Una función recibe la salida de otra
En F(g(x)), primero calculamos g(x). Su salida se convierte en la entrada de F.
En un producto F(x)g(x), las dos funciones reciben x y después multiplicamos sus salidas. En una composición se encadenan. Identificar la operación más externa nos dice qué regla elegir antes de hacer cuentas.
Recorrer dos cajas
Evaluar (2x+1)³ en x=2.
Primera salida
u=2·2+1=5.Segunda operación
y=u³=5³.Resultado
La salida final es 125.
La función exterior recibe cinco, no dos.
Calcular x³(2x+1) en dos daría cuarenta: es otro problema.
Tres capas en orden
Reconocer las capas de cos((x−1)²).
Más interior
Restar uno a x.
Siguiente
Elevar ese resultado al cuadrado.
Exterior
Calcular el coseno de ese cuadrado, en radianes.
El coseno recibe (x−1)².
No es cos(x−1) elevado al cuadrado.
2. La derivada exterior se evalúa en la entrada que recibe
Si g es derivable en a y F es derivable en g(a), entonces la composición es derivable en a y su derivada vale F′(g(a))·g′(a). Primero hallamos la entrada intermedia g(a); después la tasa exterior en esa entrada.
Como fórmula funcional: [F(g(x))]′=F′(g(x))·g′(x), donde se cumplan las condiciones.
Si ese factor es cero y la exterior es derivable, el producto es cero.
Por qué no basta F′(x)
Derivar (2x+1)³ y evaluar en cero.
Exterior
F′(u)=3u².Recibe u=2x+1, así que queda 3(2x+1)².Interior
g′(x)=2; multiplicamos: y′=6(2x+1)².En cero
y′(0)=6.Usar 3x²·2 habría dado cero incorrectamente.
La derivada en cero es seis.
La entrada intermedia en ese punto es uno.
Una interior que se frena
y=e^(x²), en x=0.
Capas
Interior g=x²; exterior F=eᵘ.Cadena
y′=e^(x²)·2x.Evaluar
La exterior tiene derivada uno en u=0, pero g′(0)=0.
y′(0)=0.
No hay que dividir por g′ ni exigir que sea no nula.
3. Dos cambios pequeños explican la multiplicación
Al sustituir, el término lineal es F′(g(a))g′(a)h. Además Δu/h permanece acotado, así que el resto exterior dividido por h también tiende a cero; cuando Δu=0 ese resto vale cero directamente. La prueba no necesita cancelar un incremento interior que podría anularse.
Cambios que permiten comprobar la fórmula
y=(2x+1)² cerca de x=0.
Cambio interior
Con x=h, u cambia de uno a 1+2h: Δu=2h.Cambio exterior
(1+2h)²−1=4h+4h².Cociente incremental
Δy/h=4+4h→4, igual a 2·1·2.
La derivada es cuatro en cero.
El término 4h² es el resto, no parte de la tasa lineal.
El incremento interior puede ser siempre cero
g(x)=5 constante y F derivable en cinco.
Cambio interior
g(a+h)−g(a)=0 para cada h.Composición
F(g(x))=F(5) es constante.Regla
F′(5)·0=0, sin dividir por Δu.
La regla sigue funcionando.
La notación de tasas es una ayuda, no una autorización para dividir entre cero.
4. De fuera hacia dentro, una capa cada vez
Deriva la operación exterior conservando intacto su argumento. Multiplica por la derivada de ese argumento. Si contiene otra capa, repite hasta llegar a x.
Mantén los paréntesis hasta terminar y simplifica los números al final. Cada factor debe tener una procedencia: exponente exterior, operación siguiente, cambio de la entrada. Así se detecta qué capa falta.
Una potencia con interior cuadrática
y=(x²+2x−1)³.
Exterior
3(x²+2x−1)²: el bloque interior no ha cambiado.
Interior
La derivada de x²+2x−1 es 2x+2.
Multiplicar
y′=3(x²+2x−1)²(2x+2).
También 6(x+1)(x²+2x−1)².
No se baja el exponente tres a cada término interior.
Tres factores para tres niveles
y=sin(e^(2x)).
Seno exterior
Aporta cos(e^(2x)).
Exponencial intermedia
Aporta e^(2x).
Argumento lineal
Aporta dos. Multiplicamos las tres contribuciones.
y′=2e^(2x)cos(e^(2x)).
El argumento del coseno sigue siendo e^(2x).
5. Los patrones se usan con su dominio
Potencias, exponenciales y trigonométricas conservan su argumento: [uⁿ]′=nuⁿ⁻¹u′ donde esa potencia sea derivable; [eᵘ]′=eᵘu′; [sin u]′=cos(u)u′; [cos u]′=−sin(u)u′, con radianes.
Para √u la fórmula u′/(2√u) pide u>0; en u=0 hay que estudiar la composición aparte. Estar definida no garantiza poder usar cualquier fórmula derivada.
El logaritmo de un argumento siempre positivo
y=ln(2+x²).
Dominio
2+x²>0 para todo real.Exterior e interior
La derivada del logaritmo aporta 1/(2+x²); la interior aporta 2x.
Producto
y′=2x/(2+x²).
Función y fórmula derivada están definidas en todo ℝ.
No se deriva ln(2+x²) como ln(2x).
La raíz de un cuadrado exige mirar cero
y=√(x²)=|x|.
Fuera de cero
La fórmula da 2x/(2√(x²))=x/|x|.Laterales en cero
A la derecha la pendiente es uno; a la izquierda menos uno.
Decisión
La función existe en cero, pero no tiene derivada allí.
La derivada vale −1 en x<0 y 1 en x>0.
No se sustituye cero en una fórmula que divide entre |x|.
6. Primero la operación exterior; después la cadena en cada rama
Dentro de cada factor que se deriva puede hacer falta la cadena. Para un cociente usamos su regla y luego las capas de numerador y denominador.
En una suma se deriva cada término. Dibujar mentalmente las ramas de la expresión evita tratar un producto como si fuera una sola composición o multiplicar todas las derivadas indiscriminadamente.
Producto de x por una composición
y=x·sin(x²).
Producto
y′=1·sin(x²)+x·[sin(x²)]′.Cadena dentro del segundo término
[sin(x²)]′=cos(x²)·2x.Simplificar
y′=sin(x²)+2x²cos(x²).
Hay dos sumandos, uno por cada factor derivado.
Multiplicar 1 por 2xcos(x²) habría perdido parte del cambio.
Un cociente con potencia en el numerador
y=(x²+1)²/(x+1), x≠−1.
Numerador
Su derivada es 2(x²+1)·2x=4x(x²+1).Cociente
El denominador derivado es uno; restamos las dos contribuciones.
Agrupar
Se conserva la restricción x≠−1.
El cuadrado del denominador procede de la regla del cociente.
7. Segunda derivada y tasas que se encadenan
Al derivar otra vez F′(g(x))g′(x), aparece un producto. Una contribución deriva F′ mediante cadena; la otra deriva g′. El resultado es F″(g(x))[g′(x)]²+F′(g(x))g″(x), cuando existen las dos derivadas necesarias.
Las dos tasas deben describir el mismo estado. Sus unidades también se encadenan: área por longitud, multiplicada por longitud por tiempo, da área por tiempo.
No basta multiplicar segundas derivadas
y=(x²+1)³.
Primera
y′=6x(x²+1)².Producto y cadena
y″=6(x²+1)²+6x·2(x²+1)·2x.Agrupar
y″=6(x²+1)²+24x²(x²+1).
Aparecen las dos contribuciones.
En cero da seis, coincidiendo con el coeficiente del término x² multiplicado por dos.
Un círculo cuyo radio crece
r cambia a 0,5 cm/s. Hallar la tasa de área cuando r=4 cm.
Relación
A=πr², así que dA/dr=2πr.Encadenar
dA/dt=(2πr)(dr/dt).Evaluar el mismo instante
2π·4·0,5=4π cm²/s.
El área crece a 4π cm²/s.
No sustituimos r=4 antes de derivar: eso convertiría el área en una constante.
8. Si una hipótesis falla, vuelve a la función completa
El dominio de F∘g exige que x pertenezca al de g y que g(x) esté en el de F. Para aplicar la regla necesitamos además derivabilidad en las entradas correspondientes.
Si una de esas hipótesis falla, el teorema no decide que la composición sea no derivable. Puede simplificarse. Para comprobar una derivada, expande un caso fácil o revisa signos; si piden una tasa en un punto, deriva antes de evaluar.
Una exterior no derivable, pero una composición suave
F(u)=|u|, g(x)=x², en cero.
Hipótesis
F no es derivable en u=0, así que no aplicamos directamente la regla allí.
Simplificar
F(g(x))=|x²|=x².Derivar la función completa
Su derivada es 2x, y en cero vale cero.
El fallo de una hipótesis no implica fallo del resultado.
Fuera de cero la cadena usual también da 2x.
Evaluar demasiado pronto borra la pregunta
Para y=(x+2)², hallar y′(1).
Error tentador
y(1)=9 es una salida; derivar después el número nueve daría cero y perdería los vecinos.
Derivar primero
y′(x)=2(x+2).Evaluar después
y′(1)=2·3=6.
La pendiente es seis; la altura es nueve.
Expandir y=x²+4x+4 da la misma derivada 2x+4.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una potencia compuesta
Deriva y=(3x−1)⁴.
Separar las capas
Interior u=3x−1; exterior y=u⁴.Derivar la exterior
dy/du=4u³.Reponer el argumento intacto
4(3x−1)³; todavía falta el cambio interior.
Derivar la interior
du/dx=3.Multiplicar
y′=4(3x−1)³·3=12(3x−1)³.Comprobar
En x=1 el resultado es 96.El factor tres procede de la interior, no de cambiar el exponente.
y′=12(3x−1)³.
El factor 3 procede de la interior.
EJEMPLO RESUELTO 2
Tres capas
Deriva y=e^(sin(x²)).
Nombrar los niveles
u=x², v=sin u, y=eᵛ, con ángulos en radianes.Exterior
dy/dv=eᵛ; al reponer v queda e^(sin(x²)).Seno intermedio
dv/du=cosu=cos(x²).Cuadrado interior
du/dx=2x.Multiplicar cada contribución
dy/dx=e^(sin(x²))·cos(x²)·2x.Ordenar y verificar
y′=2xcos(x²)e^(sin(x²)).En cero vale cero porque el cuadrado interior tiene tasa cero allí.
y′=2x cos(x²)e^(sin(x²)).
Cada una de las tres capas aporta un factor.
Los símbolos que hemos usado
- u=g(x)
- Función interior que transforma la entrada x en un valor intermedio u.
- y=F(u)
- Función exterior aplicada a la salida de g.
- (F∘g)(x)
- Composición F(g(x)).
- F′(g(x))
- Derivada de la exterior evaluada en su entrada real g(x).
- g′(x)
- Tasa de cambio de la función interior respecto a x.
- dy/dx
- Derivada de la salida final respecto a la entrada original.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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