Descomposición de Littlewood–Paley

La frecuencia ξ de e elevado a ixξ indica cuánta fase se acumula por unidad de espacio. En una dimensión, su período es 2π/|ξ|. Por eso la escala característica, dejando aparte constantes fijas, es 1/|ξ|. Un bloque de frecuencia aproximadamente 2ʲ observa cambios a escala aproximadamente 2⁻ʲ.

Una banda no contiene una sola frecuencia. Retiene un intervalo o un anillo de tamaños comparables. Usaremos cortes suaves para que sus núcleos espaciales decrezcan rápidamente. Tener soporte compacto en frecuencia no significa tener soporte compacto en espacio; tampoco autoriza automáticamente todas las cotas Lᵖ de un recorte brusco.

Elegimos χ suave radial, igual a uno para |ξ|≤1 y cero para |ξ|≥2. Puede elegirse decreciente con el radio. Definimos . El bloque Δ_j f es la función o distribución cuya transformada es φ_j f̂.

El bloque cero vive en la bola de radio dos. Cada bloque alto vive en 2 elevado a j−1 ≤|ξ|≤2 elevado a j+1. Al sumar hasta N, las restas se telescopan y queda χ(2⁻ᴺξ). Tiende a uno: f=ΣΔ_j f en distribuciones temperadas y, para f∈L², también en L².

En cada frecuencia solo se solapa un número acotado de bandas.

Aplicar dos veces Δ_j multiplica por φ_j², no por φ_j. En una transición donde φ_j está entre cero y uno, esos números difieren. Los bloques vecinos pueden solaparse. Solo los suficientemente separados tienen producto cero de multiplicadores.

En espacio, Δ_j es convolución con un núcleo suave de decrecimiento rápido. Para j≥1 tiene forma 2 elevado a jn por K(2ʲx), incorporando en K las constantes de Fourier.

Al promediar diferencias con ese núcleo se retienen cambios, no la componente constante.

Definimos .

El solapamiento finito y las cotas de los cortes dan A≤C.

Si a lo sumo N bandas actúan en cada frecuencia, Cauchy–Schwarz da 1=|Σφ_j|²≤NΣ|φ_j|².

Integrar prueba que ‖S(f)‖₂ y ‖f‖₂ son equivalentes. La conclusión no es igualdad con constante uno para una partición suave arbitraria.

Fourier convierte ∇ en multiplicación por iξ. En una banda alta, |ξ| es comparable a 2ʲ, así que ‖∇Δ_j f‖₂ es comparable a 2ʲ‖Δ_j f‖₂. Para una derivada concreta se tiene cota superior; en varias dimensiones no hay siempre cota inferior porque la frecuencia puede ser perpendicular a esa dirección.

El peso Hˢ es (1+|ξ|²)^s. En las bandas altas es comparable a 2 elevado a 2js y en la baja a uno. Así para s real. El símbolo ≍ expresa dos desigualdades con constantes; no una identidad de energía exacta por bloque.

Si f̂ está soportada en una bola de radio C2ʲ, la inversión y Cauchy–Schwarz dan ‖f‖∞≤C′2 elevado a jn/2 por ‖f‖₂. El factor sale de la raíz del volumen de la bola. Las desigualdades de Bernstein más generales dan un factor 2 elevado a jn(1/p−1/q) para 1≤p≤q≤∞, bajo esa localización.

Insertamos el peso 2ʲˢ y usamos Cauchy–Schwarz en la suma.

Se obtiene el representante continuo acotado de Hˢ. En el extremo crítico esa serie no converge.

La demostración L² anterior no basta cuando p cambia. Una vía usa Calderón–Zygmund vectorial; otra introduce signos aleatorios independientes ε_j=±1.

Los multiplicadores Σ ε_jφ_j tienen cotas uniformes de tipo Mihlin gracias al solapamiento y a las derivadas de los cortes. Khintchine compara el promedio de |Σ ε_j |ᵖ con (Σ||²) elevado a p/2. La integración da una cota cuadrática. Para la inversa se usa dualidad y una familia de cortes compañeros que reconstruye la identidad.

En uno e infinito se necesitan formulaciones de Hardy o BMO.

Para s real y 1<p, q<∞, la norma Besov toma primero ‖Δ_j f‖ₚ en espacio, multiplica por 2ʲˢ y agrega la lista con norma ℓᑫ. Triebel–Lizorkin agrega primero en cada punto los valores 2ʲˢ|Δ_j f(x)| mediante ℓᑫ y después toma Lᵖ en espacio.

La posición de las concentraciones puede cambiar el resultado. Si p=q=2, Tonelli intercambia las dos sumas o integrales, y Bˢ₂,₂=Fˢ₂,₂=Hˢ con normas equivalentes. Para 1<p<∞, F⁰ con índices p,2 coincide con Lᵖ por el teorema anterior. No se concluye que todas las elecciones de p, q den el mismo espacio.

Ahora usamos ψ(ξ)=χ(ξ)−χ(2ξ) y sus dilataciones para todos los j enteros, positivos y negativos.

La energía homogénea usa Σ sobre j∈Z de 2 elevado a 2js por ‖Δ̇_j f‖²₂, asociada al peso |ξ| elevado a 2s cuando la expresión está bien definida.

Cada corte anular es cero en una vecindad del origen. Anula todas las distribuciones de Fourier soportadas allí que proceden de polinomios. Por tanto los bloques homogéneos no distinguen dos distribuciones que difieran en un polinomio. Se trabaja módulo polinomios o se impone una condición adicional de bajas frecuencias y reconstrucción.

No aparece automáticamente una norma L² global.

Para datos muy regulares, por ejemplo Schwartz, expandir f y g genera productos Δ_j f·Δ_k g.

Son bajo–alto, alto–bajo y escalas vecinas. Esta es la idea de la descomposición de Bony. El Fourier de un producto usa convolución: sus soportes se suman.

Si una frecuencia es mucho menor que otra, la suma sigue aproximadamente en la escala alta. Pero dos frecuencias altas opuestas pueden producir frecuencia cero. Las estimaciones no lineales analizan esas interacciones antes de sumar. Las normas diádicas permiten comprobar convergencia y distribuir regularidad entre factores; no garantizan cualquier producto de distribuciones.