Transformada de Fourier y propiedades

Usaremos X(ω)=∫ℝx(t)exp(−iωt)dt, con ω angular, y la inversa x(t)=(1/(2π))∫ℝX(ω)exp(iωt)dω cuando sus hipótesis lo permitan. La fórmula de Euler exp(−iωt)=cos(ωt)−i sin(ωt) muestra las dos comparaciones: una con coseno y otra con seno. El resultado puede ser complejo aunque la señal sea real.

ω recorre todas las frecuencias reales, no solo múltiplos enteros de una base. Si el tiempo está en segundos, ω se mide en radianes por segundo. Otra convención usa frecuencia ν en hercios y exp(−2πiνt); entonces ω=2πν y cambian los factores de la inversa y de las identidades.

Mantendremos la misma convención de principio a fin.

Como |exp(−iωt)|=1, la integral de X converge absolutamente y |X(ω)|≤||x||₁ para todo ω. La convergencia dominada da continuidad: al mover ω un poco, el integrando cambia continuamente y queda dominado por una función integrable.

El lema de Riemann–Lebesgue añade X(ω)→0 cuando |ω|→∞ para x∈L¹. Una forma de entender su prueba es aproximar x en L¹ por funciones escalonadas de soporte compacto: cada escalón tiene transformada que tiende a cero, y el error de transformadas está acotado uniformemente por el error L¹.

Esto no fija una velocidad universal de decaimiento para cualquier señal integrable.

Puede ser cero aunque x no sea la señal nula. Para x real, X(−ω) es el conjugado de X(ω): la parte real es par y la imaginaria impar. Esto sale directamente de conjugar la integral y es una comprobación de signos útil.

Si x es real y par, la parte seno integra cero y X(ω)=2∫₀∞x(t)cos(ωt)dt es real y par. Si x es real e impar, la parte coseno se anula y X es imaginaria pura e impar. No toda transformada real tiene que ser no negativa: un pulso positivo puede tener lóbulos espectrales negativos.

Magnitud y valor con signo no son lo mismo.

La transformada es lineal: F[αx+βy]=αX+βY para señales integrables y constantes complejas.

El desplazamiento conserva |X|, pero modifica su fase. Sin fase no podemos saber dónde estaba situado un pulso.

Multiplicar por exp(iΩt) cambia la frecuencia dentro de la integral: F[exp(iΩt)x(t)](ω)=X(ω−Ω). Para una modulación real por cos(Ωt), la identidad de Euler produce dos copias: [X(ω−Ω)+X(ω+Ω)]/2. Los factores 1/2 son parte de la fórmula, no una corrección opcional al final.

Si |a|>1, la señal ocupa menos tiempo y los rasgos del espectro se separan más en frecuencia. El factor 1/|a| ajusta el área. Si a<0 hay además reflexión temporal: el cambio de variable invierte los extremos, y eso es precisamente lo que convierte el divisor a en valor absoluto.

Esta regla de escala no es la misma que multiplicar la altura por una constante.

Dibujar primero el soporte evita confundir las dos operaciones.

Si x es absolutamente continua, x y x′ pertenecen a L¹ y los términos de frontera se anulan, integrar por partes da F[x′](ω)=iωX(ω). Una condición suficiente para derivar el espectro es tx(t)∈L¹: entonces X′(ω)=−iF[tx](ω), o F[tx]=iX′. La primera operación deriva respecto al tiempo y la segunda respecto a la frecuencia.

Una señal con saltos no cumple sin más la primera hipótesis. Ignorar el borde de un pulso y decir que su derivada es cero casi en todas partes pierde la contribución de los saltos. Para incorporarlos se usan derivadas en el sentido de distribuciones. También debemos comprobar de nuevo las hipótesis antes de repetir una derivación de orden mayor.

Una condición suficiente sencilla de inversión ordinaria es: x es continua y tanto x como X son L¹.

Existen versiones más generales, pero no se da por cumplida esta condición cuando el espectro solo decae como 1/|ω|. En saltos, otros teoremas recuperan semisumas laterales bajo sus propias hipótesis.

La transformada se extiende además a L² por límites en norma, aunque la integral inicial no tenga que converger absolutamente en cada frecuencia.

Es una identidad de energía y una transformación invertible en L², donde igualdad significa casi en todas partes. No convierte automáticamente un límite en norma en uno puntual.

Una fórmula se acompaña del espacio donde tiene sentido. Las señales L¹ tienen la transformada ordinaria continua definida por integral absoluta. La teoría L² se construye con límites de energía y representantes casi en todas partes. Las distribuciones permiten representar deltas, constantes y ondas permanentes que no pertenecen a esos espacios de toda la recta.

Significa que el espectro actúa sobre una función de prueba φ dando 2πφ(0); no es una función que valga infinito en cero y cero fuera. Antes de entregar un resultado comprobamos factores, unidades, área, simetría, fase y si las reglas usadas tenían hipótesis. La convolución y los filtros se estudiarán con esas mismas precauciones.