Convergencia de series de Fourier

Convergencia puntual significa que, para cada t fijado, S_N(t) se acerca a f(t) al crecer N. El índice necesario puede depender del punto. Convergencia uniforme exige que el error máximo sup_t|S_N(t)−f(t)| tienda a cero: un mismo N sirve para todos los puntos. Convergencia L² exige ∫|S_N−f|²→0; mide el error cuadrático total, no su mayor altura.

En un intervalo de longitud 2π, un error uniforme como máximo ε da error cuadrático integrado como máximo 2πε². Por eso uniforme implica L² aquí. El camino inverso falla: un error alto concentrado en una zona muy pequeña puede tener integral pequeña. Los tres términos responden a preguntas distintas y deben acompañar cada afirmación de convergencia.

Si f es integrable en un periodo, sus coeficientes de Fourier están definidos por integrales. Esa existencia no garantiza por sí sola convergencia de las sumas ordinarias en todos los puntos. Las integrales tampoco detectan cambios en un conjunto de medida cero, como un número finito de puntos.

Por eso una serie no puede distinguir entre dos funciones iguales casi en todas partes. En L² se consideran representantes de la misma clase; para pedir un valor puntual necesitamos hipótesis y una descripción de los laterales. No se modifica el teorema para obligar a la suma a pasar por un punto dibujado arbitrariamente.

El teorema de Dirichlet–Jordan dice que, si f periódica tiene variación acotada en un periodo, sus sumas de Fourier convergen en cada punto a [f(t−)+f(t+)]/2. La variación acotada controla el cambio total de la función; por ejemplo, un número finito de tramos suaves con derivada integrable y saltos finitos cumple esa condición.

En un punto de continuidad, ambos laterales coinciden con f(t), así la suma recupera ese valor. En un salto recupera la semisuma, aunque el valor asignado sea otro. En los extremos del intervalo, los laterales se leen siguiendo la extensión periódica: a la derecha de π estamos entrando de nuevo por −π.

Esos extremos no se estudian como fronteras aisladas sin señal al otro lado.

Para f∈L², los polinomios trigonométricos son densos: podemos aproximarla tanto como queramos en norma L² con alguno de ellos. S_N es la mejor aproximación cuadrática dentro de su espacio.

Así se demuestra la convergencia L² sin exigir continuidad de f.

Parseval permite medir la cola: para una f real, ||f−S_N||₂²=πΣₙ>N(aₙ²+bₙ²). Los coeficientes ya incluidos retiran su energía del residuo. Esto no controla el error en un punto concreto ni en el máximo. Cambiar el representante en puntos aislados no altera la norma ni la igualdad.

Una condición suficiente es que f sea C² como función periódica: f, f′ y f″ son continuas al cerrar el periodo. Integrar dos veces por partes en cₙ=(1/(2π))∫f(t)exp(−int)dt cancela los términos de frontera y da |cₙ|≤||f″||₁/(2πn²), n≠0. Como Σ1/n² converge, la serie converge absolutamente y uniformemente.

Su límite coincide con f por unicidad y convergencia L².

Es una condición suficiente, no necesaria. También podemos probar convergencia uniforme directamente a partir de una cola sumable de coeficientes, aunque f no sea C² periódica. Hay que comprobar la hipótesis concreta que se está usando; ser suave dentro del intervalo no garantiza que la derivada encaje al repetirlo.

Cada suma parcial es continua. Una sucesión de funciones continuas no puede converger uniformemente a una función con salto. En el salto cero/dos, cualquier aproximación continua en su entorno tiene error máximo al menos uno: al acercarnos por los dos lados, su misma altura límite tendría que quedar cerca de cero y de dos a la vez.

Gibbs describe algo adicional para las sumas ordinarias de señales regulares por tramos: cerca del salto aparecen oscilaciones cuyo primer sobrepaso no desaparece en proporción a la altura del salto. Su anchura sí disminuye. Para la onda cero/dos, el sobrepaso límite es aproximadamente 0,17898 por encima de dos, el 8,949 % del salto.

Esto no es el error uniforme total: cerca del centro del salto ese error tiene otra escala.

Es otro procedimiento de suma; no podemos atribuir a S_N cualquier propiedad que probemos para σ_N. El núcleo de Fejér es F_N(u)=[sin((N+1)u/2)/sin(u/2)]²/(N+1), con valor N+1 en u=0. Es no negativo y su integral en un periodo vale 2π.

σ_N(t)=(1/(2π))∫F_N(u)f(t−u)du es un promedio de valores de f con pesos no negativos que suman uno. Si f es continua y periódica, su continuidad uniforme controla los u pequeños; fuera de cualquier entorno de cero, la masa del núcleo tiende a cero. Separando esas dos zonas se demuestra convergencia uniforme de σ_N hacia f.

Con un salto no se aplica la conclusión de uniformidad hacia esa función discontinua.

Antes de usar una serie comprobamos periodo, normalización, hipótesis de f, tipo de suma y sentido de convergencia. Una buena gráfica ayuda a formular una pregunta, pero no demuestra una garantía para infinitos términos. Tampoco la convergencia uniforme de una serie de funciones basta por sí sola para derivarla término a término.

Un criterio suficiente clásico para derivar en un intervalo es: cada término es C¹, la serie de derivadas converge uniformemente y la serie original converge en al menos un punto. Entonces la suma es derivable y su derivada es esa serie. Para integrar, la convergencia uniforme en un intervalo compacto sí permite intercambiar suma e integral.

Hay otros criterios, pero deben enunciarse, no darse por implícitos.