Primitivas, integral definida y cálculo de áreas

Sabemos que derivar x² produce 2x. La pregunta inversa es: ¿qué función tiene derivada 2x? x² es una respuesta. También x²+7 y x²−3, porque una constante desaparece al derivar.

Decimos que F es una primitiva de f en un intervalo si F′=f allí. La integral indefinida ∫f(x) dx representa la familia F(x)+C. La x de dx indica respecto a qué variable integramos; C puede ser cualquier constante real.

Para integrar xʳ, probamos xʳ⁺¹/(r+1): al derivarlo, el factor r+1 se cancela y vuelve xʳ. Esto exige r≠−1 y que las potencias estén definidas y sean derivables en el intervalo usado; para cualquier exponente real trabajamos sin problemas en x>0.

Podemos separar sumas y sacar constantes: ∫(αf+βg) dx=α∫f dx+β∫g dx, entendiendo la constante final de la familia. Cuando r=−1 la fórmula anterior dividiría por cero; ∫1/x dx=ln|x|+C en cada intervalo que no atraviese cero.

Una tabla de primitivas se construye leyendo las derivadas al revés: eˣ produce eˣ, sin x produce cos x, y −cos x produce sin x. En las fórmulas trigonométricas seguimos usando radianes.

Si hay una función interior no basta copiar la primitiva exterior. La derivada interior debe aparecer con el factor adecuado. Aquí practicamos interiores lineales; la sustitución desarrollará después la idea para otros argumentos.

Para medir una región positiva entre x=a y x=b, dividimos la base en intervalos. En cada uno construimos un rectángulo: anchura Δx y altura f(ξ), donde ξ es una entrada elegida en ese intervalo. Sumamos f(ξ)Δx.

En una función continua sobre [a,b], al hacer que la mayor anchura tienda a cero, esas sumas se acercan a un mismo número, sea cual sea la selección de alturas. Ese número es ∫ de a a b de f(x) dx. Con regiones negativas conservamos el signo de las alturas; lo estudiaremos enseguida.

Cuando f está por debajo del eje, f(x)Δx es negativo. La integral suma contribuciones con signo. El área geométrica cuenta el tamaño de todas las regiones sin cancelar; corresponde a integrar |f|.

Las unidades también se multiplican. Una tasa en litros/minuto integrada respecto al tiempo en minutos da litros. Integrar velocidad orientada da desplazamiento; para distancia recorrida integramos su valor absoluto, bajo ese modelo de movimiento.

Al mover un poco el extremo superior añadimos una franja cuya altura se acerca a f(x). La letra t recorre la suma; x indica dónde terminamos.

Evaluamos una misma primitiva en el extremo final y restamos el inicial. El cambio de altura de F mide la acumulación de su derivada f.

Si arriba aparece g(x), primero pensamos en A(g(x)); su derivada es f(g(x))·g′(x), bajo las condiciones de continuidad y derivabilidad que permiten esas operaciones.

En una integral definida la constante C se cancela al restar: [F(b)+C]−[F(a)+C]=F(b)−F(a). Su resultado es un número para extremos fijos, no una familia con +C. Si el extremo es variable, obtenemos una función concreta con un punto de partida fijado.

La integral de αf+βg es la misma combinación de sus integrales, siempre que las funciones sean integrables.

Cortar una acumulación en tramos permite usar reglas distintas en cada uno.

Cambiar el sentido de los extremos cambia el signo: ∫ de b a a f=−∫ de a a b f. Con extremos iguales la integral es cero. La integral de un producto no se obtiene, en general, multiplicando las integrales.

Entre una curva y el eje, buscamos sus ceros y dividimos los tramos donde cambia de signo. Sumamos la integral de f donde es positiva y la de −f donde es negativa. Es integrar la altura |f|.

Entre dos curvas, la altura de cada franja vertical es la salida superior menos la inferior. Hallamos sus cruces y comprobamos cuál queda arriba en cada tramo. Si cambian el orden, separamos la integral en esos cruces.

Comprobar una primitiva consiste en derivarla, respetando el intervalo. Dos primitivas de la misma función difieren por una constante en cada intervalo conectado. Si el dominio está separado en trozos, esa constante puede ser distinta en cada uno.

Aquí tratamos integrales propias de funciones continuas o por tramos sencillos en intervalos acotados. Un infinito o una singularidad dentro del recorrido exigen integrales impropias y límites, no aplicar la resta de extremos a ciegas. Que una función continua no tenga una primitiva elemental fácil de escribir no impide que exista una acumulación integral.