Perímetros y áreas de figuras planas

Un rectángulo de 5 cm por 3 cm tiene cuatro lados de longitudes 5, 3, 5 y 3.

Para cubrirlo caben tres filas de cinco cuadrados de 1 cm²: el área es 15 cm².

No comparamos dieciséis y quince como si midieran lo mismo: uno es longitud y el otro superficie. Distintas figuras pueden tener el mismo perímetro y áreas diferentes. Antes de elegir fórmula, leemos qué parte de la figura se está midiendo.

En un rectángulo de base b y altura h, los lados opuestos se repiten: P = 2(b + h). El interior se cubre con b por h unidades cuadradas cuando las longitudes usan la unidad elegida: A = bh. La multiplicación cuenta filas de cuadrados, mientras la suma recorre segmentos.

En un cuadrado todos los lados miden l.

Multiplicar por cuatro y elevar al cuadrado son operaciones distintas. La igualdad numérica ocasional de sus resultados no hace iguales longitud y superficie.

En el dibujo la base mide ocho centímetros. La altura es la distancia perpendicular entre las bases paralelas: tres centímetros. El lado inclinado mide cinco, pero no es la altura. Si usamos la inclinación en lugar de la perpendicular, cubriremos una superficie equivocada.

Cortamos el triángulo del extremo izquierdo y lo trasladamos al hueco de la derecha. Se forma un rectángulo con la misma base y la misma altura.

El perímetro original, si los lados son ocho y cinco, es 2(8 + 5) = 26 cm.

Dos copias de un triángulo pueden unirse para formar un paralelogramo. El paralelogramo tiene la misma base y altura que cada triángulo, pero el doble de su superficie.

Elegimos cualquier lado como base y trazamos desde el vértice opuesto la perpendicular a su recta. Ese segmento es la altura correspondiente. Puede quedar dentro o fuera del triángulo, como en el dibujo, y cambia si elegimos otra base. No es necesariamente un lado ni una línea vertical en la pantalla.

Un trapecio tiene dos bases paralelas B y b. Su altura h es la distancia perpendicular entre ellas. Dos copias, una girada, forman un paralelogramo de base B + b y altura h.

Con bases ocho y cuatro y altura tres, da dieciocho centímetros cuadrados.

En un rombo, las diagonales son perpendiculares y se bisecan. El rectángulo de lados D y d que lo encierra se divide en cuatro rectángulos pequeños, cada uno cortado por un lado del rombo en dos partes iguales. Así el rombo ocupa la mitad del rectángulo: A = Dd/2.

D y d son diagonales, no los lados del rombo.

La diagonal horizontal del rombo del dibujo mide ocho y la vertical seis centímetros. Se cortan por la mitad, así que cada cuarto del rectángulo mide cuatro por tres. El lado del rombo corta ese cuarto por su diagonal y deja una mitad dentro y otra fuera.

En cada cuarto hay 12 cm² y el triángulo interior ocupa seis.

Esta descomposición justifica dividir Dd entre dos. Si se pide perímetro, no sumamos las diagonales como si fueran el borde.

En un polígono regular convexo, unimos el centro con todos los vértices. Cada triángulo tiene por base un lado y por altura la apotema, perpendicular desde el centro a ese lado. Al sumar las áreas, todas comparten esa altura: A = P · apotema/2, donde P es el perímetro.

El dibujo usa un cuadrado de lado seis y apotema tres: P = 24 cm y A = 24 · 3/2 = 36 cm². La apotema llega al lado, mientras el radio llega a un vértice; no se intercambian. Para círculos, usamos L = 2πr y A = πr², con la misma distinción de borde y superficie.

Para una figura en L podemos sumar áreas de rectángulos que la cubran sin superposición, o restar la esquina ausente de un rectángulo mayor. Antes de sumar, dibujamos las separaciones y comprobamos que no contamos ninguna zona dos veces.

El dibujo muestra un rectángulo de ocho por seis con un hueco interior de dos por tres.

Para una longitud de borde hay que leer qué se pide: el contorno exterior mide 28 cm; el borde de todo el material incluye además los diez centímetros del hueco, total 38 cm. Las líneas de separación imaginarias no cuentan como borde real.

Antes de multiplicar, base y altura usan la misma unidad. Un rectángulo de 1 m por 50 cm puede escribirse como 100 cm por 50 cm: A = 5000 cm².

No es una contradicción; cambió el cuadrado unidad.

Si todas las longitudes se duplican, el perímetro se duplica y el área se cuadruplica. Si solo cambia una dimensión, usamos los datos concretos y no suponemos semejanza. Comprobar unidades, tamaño y propiedades geométricas ayuda a detectar una altura mal elegida o un factor dos olvidado.