Poliedros y cuerpos de revolución

Imagina una caja cerrada: el espacio que encierra pertenece a su interior. La superficie es el límite que lo separa del exterior. El volumen mide cuánto espacio ocupa; el área de superficie mide cuánto material haría falta para recubrirlo, sin contar grosor ni desperdicios.

Un cuadrado es una figura plana; un cubo es un cuerpo tridimensional. En el dibujo, la cara frontal se ve de frente y las otras en perspectiva. Una cara cuadrada puede parecer un paralelogramo en la pantalla: eso no la convierte en una cara de otra forma.

Un poliedro tiene superficie formada por polígonos planos. Cada pieza poligonal es una cara. La línea donde se encuentran dos caras es una arista. Las esquinas donde llegan aristas son vértices. En el cubo: seis caras, doce aristas y ocho vértices.

Las líneas discontinuas representan aristas que quedan detrás. Siguen perteneciendo al cuerpo. Para contar, distinguimos los elementos aunque el dibujo no los muestre todos de forma continua. Una misma arista compartida por dos caras se cuenta una vez, no dos.

Podemos revisar el cubo por grupos: cuatro vértices delante y cuatro detrás; cuatro aristas delante, cuatro detrás y cuatro que conectan ambas caras. La superficie tiene delante, detrás, izquierda, derecha, arriba y abajo: seis caras.

Las bases de un prisma son polígonos congruentes, paralelos y trasladados uno respecto del otro. Cada vértice de una base se conecta con el correspondiente de la otra. Si los bordes de conexión son perpendiculares a las bases, el prisma es recto y sus caras laterales son rectángulos.

Si está inclinado, esas caras son paralelogramos.

El nombre depende de la forma de la base: triangular, cuadrangular, pentagonal… No depende de cómo lo apoyemos sobre la mesa. Un prisma triangular tiene dos bases triangulares y tres laterales: cinco caras en total.

Con n lados en cada base, hay 2n vértices, n + n + n = 3n aristas y n + 2 caras. Las tres familias de aristas son las de una base, las de la otra y las que conectan correspondientes.

Una pirámide tiene una base poligonal y un vértice exterior al plano de esa base, llamado ápice. Cada lado de la base se une al ápice formando una cara triangular. No hay una segunda base paralela como en el prisma.

Si la base tiene n lados, contamos n vértices en ella y uno arriba: n + 1. Las aristas son n en la base y n hacia el ápice: 2n. Las caras son una base y n triángulos: n + 1. Una pirámide regular tiene base regular y el ápice sobre su centro.

La altura del cuerpo va perpendicularmente del ápice al plano de la base. La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de una cara triangular: llega al punto medio de un lado de la base. Son segmentos distintos; no intercambiamos sus medidas.

Un cuerpo es convexo si el segmento que une cualesquiera dos puntos del cuerpo permanece entero dentro de él. Una caja y una pirámide habitual son convexas; un cuerpo con un túnel puede no serlo. Para cualquier poliedro convexo se cumple V − E + F = 2, donde V cuenta vértices, E aristas y F caras.

La igualdad es una comprobación útil y puede ayudar a hallar un dato que falta, pero no sustituye a reconocer caras y conexiones. Un recuento equivocado en dos sitios podría compensarse y seguir dando dos.

No aplicamos esta versión de Euler sin revisar las hipótesis. No estamos contando superficies curvas como si fueran caras poligonales ni usando sin más la misma igualdad en objetos con agujeros.

En un cilindro circular recto hay dos bases que son discos congruentes paralelos y una superficie lateral curva. Su altura mide la separación perpendicular entre las bases. El radio pertenece a cada disco y va desde su centro hasta la circunferencia. Una lata ideal ayuda a reconocerlo.

Un cono circular recto tiene una base disco y una punta sobre su centro. La altura baja perpendicularmente al centro de la base; la generatriz une la punta con un punto de la circunferencia por el lateral. Un cono no es una pirámide con «muchísimas caras»: su lateral es curvo, no un conjunto finito de triángulos planos.

Pueden obtenerse girando figuras planas: un rectángulo alrededor de uno de sus lados forma un cilindro; un triángulo rectángulo alrededor de un cateto, un cono. El lado o cateto elegido como eje determina la altura; el perpendicular determina el radio.

La superficie esférica reúne los puntos del espacio a distancia r de un centro O. El sólido que incluye también el interior es la bola; en ejercicios elementales «esfera» suele usarse para ese cuerpo completo. El contexto indica si medimos su superficie o su volumen.

Un radio une el centro con la superficie. Un diámetro pasa por el centro y une dos puntos opuestos: mide 2r. La línea ovalada del dibujo ayuda a representar la curvatura; no divide la esfera en caras planas ni es una arista.

Un desarrollo plano abre una superficie por cortes sin estirarla. Un cubo admite un desarrollo de seis cuadrados; el lateral de un cilindro puede abrirse en rectángulo y el de un cono en sector circular. Una superficie esférica completa no puede aplanarse exactamente sin deformación ni recortes que alteren ese ajuste.

No cualquier grupo de seis cuadrados forma un cubo al plegarse. La disposición tiene que permitir que cada cara ocupe un sitio distinto, sin que dos tapen la misma posición y sin dejar un hueco. Las uniones son las líneas de plegado.

En este desarrollo hay cuatro cuadrados seguidos y uno arriba y otro abajo del segundo. Los cuatro de la fila forman una banda lateral; las otras dos piezas cierran los extremos. Los números identifican caras, no tamaños de lado.

Antes de calcular, buscamos bases, laterales y puntas. Distinguimos poliedros de cuerpos con superficie curva; dentro de los poliedros, prismas y pirámides. Después nombramos radio, altura perpendicular, generatriz o apotema según corresponda.

La elección de base afecta a cómo describimos una caja, pero no a su volumen. Si un prisma está inclinado, su altura es la distancia perpendicular entre bases y no la arista lateral inclinada. Para área exterior habrá que estudiar las caras reales. Un dibujo por sí solo no autoriza a tratar toda arista como una altura.