Integrar aquí significa buscar una función cuya derivada sea la que nos dan. No empezaremos memorizando una tabla: veremos cómo proponer una respuesta y derivarla para saber si funciona. La constante aparecerá porque distintas alturas pueden tener las mismas pendientes.
Si necesitas repasar:
1. La pregunta es: ¿qué función se deriva en esto?
F es una primitiva de f en un intervalo cuando F es derivable y F′(x)=f(x) en todo él. La integral indefinida reúne todas esas primitivas y se escribe ∫f(x)dx. El dx señala la variable respecto a la que integramos.
Si F funciona, F+C también: una constante desaparece al derivar. Dos primitivas en un intervalo difieren en una constante, por el teorema del valor medio aplicado a su diferencia. En componentes separadas del dominio esas constantes pueden ser distintas.
Una familia, no una sola parábola
Integrar 2x respecto a x.
Buscar hacia atrás
La derivada de x² es 2x.
Comparar
x²+2 y x²−2 también derivan en 2x.
Reunir
∫2x dx=x²+C, para cualquier constante real C.
La constante describe la altura que no podemos recuperar.
Derivar x²+C devuelve exactamente 2x.
El hueco separa las constantes
Integrar 1/x en ℝ sin cero.
Lado positivo
ln x+C₊ tiene derivada 1/x.
Lado negativo
ln(−x)+C₋ también: la cadena da (−1)/(−x)=1/x.Reunir con cuidado
Se escribe ln|x| más una constante en cada intervalo, que no tienen por qué coincidir.
No se define nada en cero.
Elegir tres en una rama y menos cinco en la otra sigue dando una primitiva en cada componente.
2. Sumar sí se reparte; productos y cocientes no
Por eso podemos integrar sumas término a término y sacar constantes. Las constantes de cada término se reúnen en una sola C al final.
Antes de integrar conviene desarrollar un producto sencillo, dividir términos o cambiar una raíz por una potencia, conservando el dominio. No hay una regla para multiplicar o dividir primitivas como si integrar respetara esas operaciones.
Una suma que se separa
∫(2x²−6x+4)dx.
Términos
Integramos dos veces x², menos seis veces x y la constante cuatro.
Propuestas
(2/3)x³, −3x² y 4x.
Reunir
F=(2/3)x³−3x²+4x+C.
Derivar recupera 2x²−6x+4.
La primitiva de cuatro es 4x, no cero.
Desarrollar en vez de multiplicar primitivas
∫x(x+1)dx.
Desarrollar
x(x+1)=x²+x.Integrar la suma
x³/3+x²/2+C.
Por qué no multiplicar
El producto de x²/2 y x²/2+x tiene otra derivada, por la regla del producto.
La distribución algebraica se hace antes de integrar.
En particular, ∫x·x dx=x³/3+C, mientras (x²/2)²=x⁴/4 deriva en x³.
3. Aumentar el exponente y compensar su derivada
Para n≠−1, 
en un intervalo donde las potencias reales y sus derivadas estén definidas. Al derivar, el exponente n+1 baja y cancela el divisor; después el exponente vuelve a n.
Para n=−1 el divisor sería cero y la fórmula no existe. La regla correcta es ∫1/x dx=ln|x|+C en intervalos que no crucen cero. Las raíces y potencias fraccionarias requieren declarar su rama real y su dominio.
Una raíz convertida en potencia
∫√x dx en x>0.
Exponente
√x=x^(1/2).Aumentar y dividir
Un medio más uno es tres medios; dividimos por tres medios.
Resultado
La derivada es √x en x>0.
No se divide por el exponente antiguo un medio.
Un exponente negativo que no es la excepción
∫x⁻³dx, x≠0.
Aumentar
−3+1=−2.Dividir
x⁻²/(−2)+C.
Otra escritura
−1/(2x²)+C en cada componente.
La derivada es x⁻³.
El exponente negativo es notación válida; escribir una fracción es una elección equivalente.
La excepción también funciona a la izquierda
∫1/x dx para x<0.
Propuesta
ln|x|=ln(−x).Derivada
Por cadena: (1/(−x))·(−1)=1/x.Familia
Añadimos una constante propia de ese intervalo.
ln|x|+C.
El valor absoluto no elimina la exclusión x=0.
4. Leer las derivadas conocidas en sentido inverso
Una primitiva de eˣ es eˣ.
Todas se comprueban derivando.
En radianes: cosx se integra como sinx; sinx como −cosx; 1/cos²x como tanx en intervalos con cosx≠0. Además 1/(1+x²) se integra como arctanx en ℝ y 1/√(1−x²) como arcsinx en (−1,1). A cada primitiva se añade C.
El coeficiente de una exponencial distinta de e
∫2ˣdx.
Recordar derivada
La derivada de 2ˣ es 2ˣln2.
Compensar
Dividimos por la constante ln2.
Comprobar
[2ˣ/ln2]′=2ˣ.
2ˣ/ln2+C.
La base dos no es un coeficiente multiplicativo de x.
Los signos trigonométricos tienen una razón
∫(3sinx+2cosx)dx.
Seno
La derivada de −cosx es sinx.
Coseno
La derivada de sinx es cosx.
Linealidad
−3cosx+2sinx+C.
El menos pertenece a la primitiva del seno.
Al derivar se recupera 3sinx+2cosx.
Dos funciones inversas en un mismo intervalo
Integrar 1/(1+x²)+1/√(1−x²).
Dominio común
La raíz en el denominador exige −1<x<1.Reconocer
Son las derivadas de arctanx y arcsinx respectivamente.
Sumar
arctanx+arcsinx+C en ese intervalo.
Se conserva el intervalo abierto (−1,1).
La primera parte sola tiene dominio mayor; la suma no.
5. Un argumento lineal pide el factor inverso
Al derivar, la cadena añade a y el divisor lo compensa.
Esto funciona porque la derivada interior es una constante. Para una g general no podemos escribir F(g(x))/g′(x) como regla: derivar ese cociente suele producir un término adicional.
El seno devuelve el coseno si compensamos cinco
∫cos(5x)dx.
Propuesta sin ajustar
sin(5x) deriva en 5cos(5x).
Compensación
Dividimos por cinco.
Familia
sin(5x)/5+C.
El factor interior se divide al integrar.
Al derivar, el quinto exterior y el cinco interior se cancelan.
Una pendiente interior negativa
∫e^(−2x)dx.
Derivada de la propuesta
e^(−2x) deriva en −2e^(−2x).
Compensar
Multiplicamos por −1/2.
Resultado
El signo negativo es necesario.
Derivar el resultado produce un factor (−1/2)(−2)=1.
6. Reconocer una derivada interior que sí está presente
También ∫u′eᵘdx=eᵘ+C y ∫u′cosu dx=sinu+C, bajo las condiciones de derivación.
Primero identifica u; después calcula u′ y compara con el factor real del integrando. Un factor constante puede ajustarse fuera. Un factor variable ausente no puede inventarse.
Un logaritmo escondido
∫2x/(x²+3)dx.
Interior
u=x²+3, siempre positiva.Derivada presente
u′=2x: coincide con el numerador.Propuesta y comprobación
ln(x²+3)+C deriva en 2x/(x²+3).
La primitiva vale en todo ℝ.
No hace falta una constante distinta por ramas porque el argumento nunca se anula.
Distinguir un factor presente de uno inventado
Comparar ∫2xe^(x²)dx con ∫e^(x²)dx.
Primera
u=x² y u′=2x están presentes: una primitiva es e^(x²).Segunda
Falta el factor variable 2x; no basta copiar la misma respuesta.
Contraejemplo al atajo
En x>0, derivar e^(x²)/(2x) da e^(x²)−e^(x²)/(2x²), no el integrando deseado.
La primera es inmediata por cadena inversa; el atajo no resuelve la segunda.
Dividir por una derivada variable puede introducir otro término.
7. Una condición elige la constante; dos extremos dan un número
Con F(x₀)=y₀, primero obtenemos una familia F₀+C y después C=y₀−F₀(x₀). Sin ese dato, elegir C=0 solo escoge una primitiva entre muchas.
La constante se cancela. Esta evaluación no permite atravesar singularidades: ∫ de 1/x cruzando cero requiere estudiar integrales impropias separadas y no existe como integral impropia ordinaria en [−1,1].
Elegir una curva de la familia
F′(x)=4x y F(1)=7.
Integrar
F=2x²+C.Usar el dato
7=2·1²+C, así que C=5.Comprobar ambas condiciones
F=2x²+5 deriva en 4x y vale siete en uno.
La condición fija C=5.
Saber solo la derivada no habría fijado la altura.
Evaluar arriba menos abajo
∫₀²(2x+1)dx.
Primitiva
F=x²+x.Extremos
F(2)=6; F(0)=0.Resta
6−0=6.
La integral definida vale seis.
No se añade C al número final.
8. La derivada comprueba la respuesta; el signo comprueba su significado
Después de proponer una primitiva, deriva todos sus términos. Debes recuperar exactamente el integrando. Un signo perdido o un factor lineal sin compensar se detecta así.
Integrar una constante k da kx+C. Integrar una potencia aumenta su exponente y divide; derivarla hace la operación opuesta. Una integral definida es acumulación con signo: si te piden área geométrica, hay que separar los tramos negativos y sumar sus magnitudes.
Descubrir y corregir un signo
¿cos(2x)/2 es primitiva de sin(2x)?
Derivar la propuesta
Da −sin(2x), que tiene el signo opuesto.
Corregir
La propuesta correcta es −cos(2x)/2.
Verificar
Su derivada es sin(2x).
La familia es −cos(2x)/2+C.
La comprobación distingue un parecido de una igualdad exacta.
Integral cero, área positiva
f(x)=x entre −1 y uno.
Integral
Una primitiva es x²/2; los dos extremos dan un medio, por lo que la resta es cero.
Áreas por tramos
Cada triángulo tiene área un medio.
Interpretar
La acumulación con signo se cancela; el área total es uno.
Integral definida cero y área geométrica uno.
La pregunta determina si sumamos magnitudes o valores con signo.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una suma de potencias
Integra 3x²−4x+2.
Leer la operación
Integramos respecto a x una suma de tres términos.
Primer término
3∫x²dx=3·x³/3=x³.Segundo término
−4∫xdx=−4·x²/2=−2x².Constante
∫2dx=2x.Reunir la familia
x³−2x²+2x+C, con una sola constante final.
Comprobar
La derivada de la respuesta es 3x²−4x+2 en todo ℝ.
x³−2x²+2x+C.
Su derivada es 3x²−4x+2.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un argumento lineal
Integra cos(3x).
Separar argumento y función
El argumento es 3x y la función exterior es el coseno, en radianes.
Proponer la inversa
El seno se deriva en coseno, así que empezamos por sin(3x).
Detectar el factor extra
Su derivada sería 3cos(3x).
Compensar
Dividimos la propuesta por tres.
Añadir la constante
∫cos(3x)dx=sin(3x)/3+C.Verificar
La cadena da (1/3)·cos(3x)·3=cos(3x).
sin(3x)/3+C.
La cadena recupera el integrando.
Los símbolos que hemos usado
- f(x)
- Integrando cuya primitiva se busca.
- F′(x)=f(x)
- Condición que define una primitiva F en un intervalo.
- ∫f(x)dx
- Familia de primitivas de f respecto a x.
- C
- Constante real arbitraria de integración.
- n
- Exponente de una potencia, sujeto a dominio y a n≠−1 en la regla usual.
- a
- Coeficiente no nulo de un argumento lineal ax+b.
- [F]ᵤᵛ
- Diferencia F(v)−F(u) al evaluar extremos.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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