Si una entrada provoca una respuesta que dura un tiempo, las respuestas a entradas cercanas pueden superponerse. La convolución calcula esa mezcla conservando cuándo ocurrió cada aportación. Primero moveremos dos intervalos y mediremos su parte común. Después haremos la misma operación con una lista de números y veremos por qué Fourier puede convertirla en una multiplicación.
Si necesitas repasar:
1. Para una salida fija, buscamos dónde los dos factores están activos
Fijamos t y dejamos variar τ. El factor h(t−τ), visto como función de τ, refleja y desplaza h. Primero localizamos dónde ambos factores son distintos de cero; solo entonces integramos su producto. t es la posición de salida y τ la variable que recorre las contribuciones.
Si x y h son pulsos de altura uno, el producto vale uno exactamente en su solapamiento, y la integral es la longitud común. Para otras alturas se multiplica por ambas. Si tienen signos distintos o son complejos, además puede haber cancelación: no basta con contar la anchura del solapamiento.
Mover un intervalo corto sobre uno largo
x=1 en [0,2], h=1 en [0,1], cero fuera.
Condiciones simultáneas
x(τ) exige 0≤τ≤2. h(t−τ) exige 0≤t−τ≤1, es decir t−1≤τ≤t.Intersección
La longitud común es max(0, min(2, t)−max(0, t−1)).
En t=1/2 mide 1/2; en t=3/2 mide uno; en t=5/2 vuelve a medir 1/2.Fórmula por tramos
y=t para 0≤t≤1; y=1 para 1≤t≤2; y=3−t para 2≤t≤3; fuera vale cero.
La salida es un trapecio, porque las anchuras eran distintas.
En los puntos de unión las expresiones coinciden; la salida es continua.
Cambiar las alturas conserva el intervalo común
Ahora x=2 en [0,2] y h=3 en [0,1]. Calcular la salida en t=3/2.
Mismo soporte
El intervalo común sigue siendo [1/2,3/2], de longitud uno.
Producto dentro
Cada punto aporta 2·3=6, no dos más tres.
Integrar
y(3/2)=∫ de seis en un intervalo de longitud uno, así vale seis. Toda la salida anterior queda multiplicada por seis.
La convolución combina producto de alturas y suma de contribuciones.
En t=1/2 el mismo razonamiento da 6·1/2=3.
2. En una lista, cada pareja contribuye al índice que suma sus posiciones
Si las listas son finitas, se consideran cero fuera de los índices indicados. Una pareja de posiciones k y j aporta x[k]h[j] a y[k+j]. Por eso la convolución no es multiplicar componente a componente: una salida puede reunir varias parejas.
Si las posiciones de x son 0,…, N−1 y las de h son 0,…, M−1, la salida lineal completa ocupa como máximo 0,…, N+M−2: se guardan N+M−1 posiciones. Algunos valores pueden ser cero por cancelación. En continuo, soportes incluidos en [a, b] y [c, d] solo pueden producir salida dentro de [a+c, b+d], pero eso no garantiza que cada punto interior sea distinto de cero.
Escribir todas las parejas sin perder el signo
x=[2;1;−1], h=[1;2], ambas desde n=0.
Primeras posiciones
y[0]=2·1=2. y[1]=2·2+1·1=5.Las siguientes
y[2]=1·2+(−1)·1=1. y[3]=(−1)·2=−2.Longitud
Tres posiciones más dos menos una dan cuatro: y=[2;5;1;−2]. Fuera de 0,…,3 no hay parejas posibles.
El índice de salida se obtiene sumando los dos índices de origen.
La posición dos contiene una cancelación parcial; no se suman valores absolutos.
Un hueco interior no contradice el soporte posible
x=[1;−1], h=[1;1], desde cero.
Extremos
y[0]=1 y y[2]=−1.Centro
y[1]=1·1+(−1)·1=0.Resultado
La lista completa es [1;0;−1]. El intervalo de índices posible es 0,…,2, aunque en el centro no quede salida.
Soporte posible y valores no nulos efectivos no son lo mismo.
Omitir el cero central cambiaría el índice del valor −1 y representaría otra señal.
3. Las propiedades de la operación necesitan sumas o integrales justificadas
Para x, h∈L¹, la convolución existe casi en todas partes, pertenece a L¹ y cumple ||x*h||₁≤||x||₁||h||₁. El módulo del producto se integra absolutamente en las dos variables; Tonelli y Fubini permiten cambiar el orden. En ese marco se obtienen conmutatividad y asociatividad. Para secuencias absolutamente sumables hay versiones análogas.
En ejemplos finitos todos los reordenamientos son seguros. Para señales generales no se cambian integrales infinitas solo por reconocer la fórmula. Además, la desigualdad puede ser estricta si aparecen cancelaciones. La igualdad de áreas con signo, ∫(x*h)=(∫x)(∫h), requiere integrabilidad y no sustituye a la desigualdad con valores absolutos.
Dos pulsos no negativos alcanzan la cota L¹
x=1 en [0,2] y h=1 en [0,1].
Normas de entrada
||x||₁=2 y ||h||₁=1.Área de salida
El trapecio tiene dos triángulos de área 1/2 y un rectángulo de área uno. Su área total es dos.
Comparar
Como la salida no es negativa, ||x*h||₁=2=2·1.Aquí no hubo cancelación.
La cota controla el tamaño integrado de la salida.
La altura máxima del trapecio es uno, mientras su norma L¹ es dos.
Con signos, la cota puede quedar por encima del resultado
x=[2;1;−1], h=[1;2], y=[2;5;1;−2].
Normas absolutas
Σ|x|=4 y Σ|h|=3; el producto de normas es doce.Norma de salida
Σ|y|=2+5+1+2=10, menor que doce.Sumas con signo
Σx=2, Σh=3 y Σy=6.Esta igualdad también se cumple, pero mide otra magnitud.
El valor absoluto distingue tamaño total de cancelación algebraica.
Diez no contradice la suma seis: en una cuenta se conserva el signo y en la otra no.
4. Un sistema LTI representable suma copias de su respuesta al impulso
En tiempo discreto, δ[n] vale uno en cero y cero en los demás índices. Cada muestra x[k] puede representarse mediante x[k]δ[n−k]. Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, esa pieza produce x[k]h[n−k], siendo h la respuesta a δ. Sumar las respuestas da x*h para entradas finitas y, bajo condiciones de convergencia y continuidad adecuadas del operador, para las clases infinitas admitidas.
Para el operador de convolución habitual, h absolutamente sumable garantiza estabilidad BIBO: toda entrada acotada produce salida acotada, pues |y[n]|≤sup|x|·Σ|h|. En continuo se usa la integral absoluta de h. La equivalencia BIBO con esa condición se refiere a ese sistema de convolución, no a cualquier operador abstracto al que solo llamemos lineal.
Dos impulsos originan dos copias desplazadas
x[n]=2δ[n]−δ[n−2], h[n]=(1/2)ⁿ para n≥0 y cero antes.
Primer impulso
La aportación 2δ[n] da 2h[n].
Segundo impulso
El impulso de peso −1 en n=2 da −h[n−2].Muestras
y[0]=2, y[1]=1, y[2]=2·1/4−1=−1/2 y y[3]=2·1/8−1/2=−1/4.
La salida conserva el momento de llegada y el peso de cada impulso.
h[n−2] es cero antes de n=2; no se usa una potencia geométrica antes de su soporte.
Comparar una memoria que decae con otra que acumula
Entradas |x[n]|≤B; respuestas causales h₁[n]=(1/2)ⁿ y h₂[n]=1.
Memoria decreciente
Σ|h₁|=1/(1−1/2)=2.Entonces |y[n]|≤2B, una cota independiente de n.Acumulador
Σ|h₂| diverge. Para probar inestabilidad, elegimos la entrada acotada x[n]=1 para n≥0, cero antes.
Salida que crece
La convolución con h₂ suma n+1 unos: y[n]=n+1.Una entrada acotada ha producido salida no acotada.
Un caso concreto basta para refutar BIBO; una cota general sirve para demostrarlo.
La causalidad describe cuándo empieza la respuesta, no garantiza que su tamaño total sea finito.
5. La convolución temporal se convierte en producto de espectros
Sustituimos la convolución, cambiamos el orden por Fubini y ponemos u=t−τ. El exponencial se separa como exp(−iωτ)exp(−iωu); las dos integrales resultantes son X y H. Con esta convención no aparece 2π en esta dirección.
El producto temporal es una operación distinta.
El factor viene de la inversa de Fourier. Las dos identidades no se intercambian conservando los mismos factores. Otras clases también admiten estas relaciones bajo sus hipótesis pertinentes.
Dos rectángulos producen un triángulo y un espectro al cuadrado
x=h=1 en [−1,1], cero fuera.
En tiempo
El solapamiento mide 2−|t| para |t|≤2 y cero fuera.El triángulo tiene altura dos y base cuatro.
En frecuencia
X=H=2sinω/ω, completado en cero por el valor dos.
La salida tiene Y=4sin²ω/ω² y Y(0)=4.Área
El triángulo tiene área (4·2)/2=4.Coincide con Y(0) y con el producto de las dos áreas de entrada.
La multiplicación espectral representa una convolución, no el cuadrado puntual del rectángulo.
El cuadrado temporal de un pulso de altura uno sería el mismo pulso, cuya transformada es otra.
El producto de gaussianas descubre el factor de la otra identidad
x=h=exp(−t²/2), así xh=exp(−t²).
Transformada del producto
Directamente, F[exp(−t²)]=√πexp(−ω²/4).Convolución de espectros
X=H=√(2π)exp(−ω²/2).Entonces (X*H)(ω)=2π∫exp(−[ξ²+(ω−ξ)²]/2)dξ.Completar el cuadrado
[ξ²+(ω−ξ)²]/2=(ξ−ω/2)²+ω²/4.La integral vale 2π√πexp(−ω²/4); al dividir entre 2π recuperamos la transformada correcta.
El factor 1/(2π) es comprobable con una señal concreta.
Las gaussianas son de Schwartz, así las operaciones utilizadas están justificadas.
6. El módulo de un filtro no cuenta toda su historia temporal
Si y=x*h y se cumplen las condiciones anteriores, Y=XH: el módulo de H escala y su fase también modifica la salida. Un retraso introduce fase lineal sin cambiar magnitud. En tiempo discreto absolutamente sumable, el mismo razonamiento usa X(ω)=Σx[n]exp(−iωn), una función de frecuencia periódica con periodo 2π.
La autocorrelación continua R_x(τ)=∫x(t+τ)conj(x(t))dt tiene transformada |X|², por ejemplo para x de Schwartz. Para secuencias finitas, R_x[k]=Σx[n+k]conj(x[n]) tiene la identidad discreta correspondiente. Esta información describe energía y relaciones de desfase, pero pierde la posición temporal absoluta de la señal. No es automáticamente un espectro de potencia de una señal permanente o de un proceso aleatorio.
Una memoria decreciente favorece frecuencias bajas
h[n]=(1/2)ⁿ para n≥0; H(ω)=1/[1−(1/2)exp(−iω)].
Frecuencia cero
H(0)=1/(1−1/2)=2.Una componente constante se escala por dos en la respuesta estacionaria apropiada.
Alternancia
H(π)=1/[1+1/2]=2/3.La frecuencia que cambia signo en cada muestra se escala menos.
Añadir retraso
Si retrasamos h dos muestras, el nuevo espectro es exp(−2iω)H. Sus magnitudes son iguales, pero la respuesta llega dos muestras después.
Mismo módulo permite distintas respuestas temporales.
La evaluación en frecuencia está justificada porque h es absolutamente sumable.
La autocorrelación de una lista conserva energía y pierde su origen
x=[1;2], desde n=0.
Retardos posibles
R[0]=1²+2²=5, R[1]=2·1=2 y R[−1]=1·2=2; fuera es cero.Transformar
ΣR[k]exp(−iωk)=5+2exp(−iω)+2exp(iω)=5+4cosω.Comparar
X=1+2exp(−iω), así |X|²=5+4cosω.Si desplazamos toda x, cambia su fase pero no R ni |X|².
La identidad de energía no reconstruye por sí sola cuándo empezó la lista.
R[0]=5 es energía; la suma de las muestras de x es tres, otra cantidad.
7. Una DFT de longitud corta pliega la convolución sobre sí misma
Multiplicar DFT de longitud L y aplicar la inversa produce convolución circular: las posiciones de salida se leen módulo L. Si la convolución lineal tiene valores en n y n+L, ambos se suman en la misma casilla. No se ha truncado simplemente la cola: se ha añadido a otra posición.
Para listas de longitudes N y M, rellenarlas con ceros hasta L≥N+M−1 permite alojar toda la salida lineal en un periodo sin solapamiento circular. Añadir ceros a los datos no modifica sus muestras originales. Escoger L potencia de dos puede ser cómodo para algunos algoritmos FFT, pero la condición contra el plegado es la longitud suficiente, no esa potencia por sí sola.
Ver dónde reaparece una muestra final
x=[2;1;−1], h=[1;2]; salida lineal [2;5;1;−2].
Usar longitud tres
La posición tres es congruente con cero módulo tres. El −2 se añade a la primera posición.
Resultado circular
La salida pasa a [2−2;5;1]=[0;5;1].No es la lista lineal recortada [2;5;1].
Evitarlo
Con L=4 y relleno de ceros, cada una de las cuatro posiciones lineales ocupa una casilla diferente: [2;5;1;−2].
La longitud mínima suficiente aquí es 3+2−1=4.
La suma circular sigue siendo seis, de modo que ese control por sí solo no detectaría el plegado.
Una cancelación circular puede borrar toda una salida
x=[1;1], h=[1;−1].
Convolución lineal
Las tres salidas son 1, 0 y −1.
Con longitud dos
La posición dos vuelve a cero: 1+(−1)=0.La otra casilla también es cero.
Con relleno
La longitud tres ya conserva [1;0;−1]. Longitud cuatro también sirve, añadiendo un cero final.
La convolución circular de longitud dos es [0;0], aunque la lineal no sea nula.
La condición depende de las longitudes de entrada y no solo del número de valores finales que casualmente se cancelan.
8. Los controles detectan errores, pero no sustituyen a la cuenta completa
Estos controles salen de reordenar contribuciones y son útiles para detectar signos, índices o áreas perdidos. Ninguno demuestra por sí solo que cada salida sea correcta.
Una revisión completa comprueba origen temporal, longitud, soporte, cada región de solapamiento, posibles cancelaciones y convención espectral. Para una identidad de sistemas hay que conservar además las condiciones del operador y distinguir la respuesta a la entrada de efectos debidos a un estado inicial.
Pasar un control de suma no prueba todos los valores
La respuesta correcta a x=[2;1;−1], h=[1;2] es [2;5;1;−2].
Suma esperada
(2+1−1)(1+2)=6.Candidato incorrecto
[2;4;2;−2] también suma seis y tiene cuatro posiciones.
Control local
En n=1, la cuenta obligatoria es 2·2+1·1=5, no cuatro.El candidato falla aunque haya pasado suma y longitud.
Se combinan controles globales con la definición local.
La suma seis sigue siendo un buen detector de muchos fallos; simplemente no es una prueba completa.
Un impulso desplazado comprueba el origen temporal
x=[2;1;−1] desde cero y h[n]=δ[n−3].
Única pareja posible
h[n−k] solo es uno si n−k=3; por tanto y[n]=x[n−3].Posiciones
La salida vale dos en n=3, uno en n=4 y menos uno en n=5; antes es cero.
Suma
La suma sigue siendo dos, porque h suma uno. Escribir [2;1;−1] sin indicar que empieza en tres perdería el retraso.
Los valores y sus índices forman juntos la señal.
La conmutatividad conserva este mismo desplazamiento si intercambiamos x y h.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Dos secuencias cortas
x=[1,2] y h=[1,1], comenzando ambas en n=0. Halla su convolución.
Índices
Ambas listas comienzan en cero y son cero fuera de sus dos posiciones.
Salida cero
y[0]=x[0]h[0]=1·1=1.Salida uno
Las parejas son (0;1) y (1;0): y[1]=1·1+2·1=3.Salida dos
Solo queda (1;1): y[2]=2·1=2.Lista completa
La longitud es 2+2−1=3, así y=[1;3;2].Comprobar
Su suma es seis, igual a (1+2)(1+1).
y=[1,3,2].
La suma de y es 6, igual a (1+2)(1+1).
EJEMPLO RESUELTO 2
Dos pulsos unitarios
x=h=1 en [0,1], cero fuera. Calcula (x*h)(1).
Fijar salida
Queremos t=1, no la integral para un t indeterminado.Primer factor
x(τ) vale uno cuando 0≤τ≤1.Segundo factor
h(1−τ) vale uno cuando 0≤1−τ≤1, equivalente a 0≤τ≤1.Intersección
Todo [0,1] contribuye con producto uno.
Integral
∫₀¹1dτ=1.Dibujo
Dos pulsos unitarios de anchura uno generan un triángulo de base [0,2] y altura máxima uno en t=1.
La convolución vale 1 en t=1.
Es la altura máxima de la respuesta triangular de soporte [0,2].
Los símbolos que hemos usado
- (x*h)(t)
- Convolución continua, integral de x(τ) h(t−τ).
- y[n]
- Convolución discreta, suma de x[k] h[n−k].
- Soporte
- Región o índices donde una señal puede ser no nula, con la interpretación adecuada.
- LTI
- Sistema lineal e invariante frente a desplazamientos temporales.
- h / H
- Respuesta impulsional / transformada de esa respuesta.
- Convolución circular
- Operación de secuencias interpretadas periódicamente con una longitud fijada.
- Relleno con ceros
- Extensión de una secuencia finita para evitar superposición periódica al calcular su convolución lineal.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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