A veces un producto no contiene la derivada interior que necesitaríamos para una sustitución inmediata. Por partes cambia ese producto por otro que puede resultar más fácil. Separaremos qué se deriva y qué se integra antes de usar la fórmula.
Si necesitas repasar:
1. La fórmula sale de la derivada de un producto
El producto uv ya queda fuera de la integral; solo queda integrar v du. La constante se añade al terminar la familia.
Leer la identidad con dos funciones concretas
u=x² y v=sinx.
Producto derivado
(x²sinx)′=2xsinx+x²cosx.Despejar
x²cosx=(x²sinx)′−2xsinx.Integrar
∫x²cosx dx=x²sinx−∫2xsinx dx.
La resta aparece al despejar el otro término.
No se puede omitir el producto x²sinx.
Un ejemplo que termina en un paso
∫x e^(2x)dx.
Elección
u=x, dv=e^(2x)dx; du=dx y v=e^(2x)/2.Sustituir
xe^(2x)/2−(1/2)∫e^(2x)dx.
Terminar
El divisor dos aparece dos veces por dos integraciones.
Derivar los dos términos cancela las contribuciones extra.
2. Elegir dos datos determina los otros dos
La elección debe cumplir u·dv igual al integrando original completo, incluido dx. Después du sale de derivar u y v de integrar dv. No escogemos las cuatro piezas independientemente.
Comprobamos si ∫v du resulta más sencilla, reducible o relacionada de forma útil con la original. Si se complica, podemos cambiar de elección: eso no vuelve falsa la identidad, solo señala una estrategia poco útil.
Preparar la cuenta en dos columnas
∫2x e^(3x)dx.
Elegir
u=2x y dv=e^(3x)dx: no sobra ningún factor.Completar
du=2dx y v=e^(3x)/3.Fórmula y resto
El polinomio desaparece de la integral pendiente.
Integrar e^(3x) exige compensar el tres.
Una elección válida que complica la tarea
Para ∫x eˣdx, probar u=eˣ y dv=x dx.
Completar
du=eˣdx y v=x²/2.Aplicar
x²eˣ/2−(1/2)∫x²eˣdx.
Comparar
La nueva integral tiene un polinomio de grado mayor. Conviene cambiar u y dv.
La identidad es correcta, pero no simplifica este problema.
No se modifican du o v de forma independiente para forzar una simplificación.
3. Buscar qué factor mejora al derivarlo
Un polinomio baja de grado al derivar hasta convertirse en cero. Por eso suele elegirse como u cuando acompaña a una exponencial o un seno o coseno fáciles de integrar. Un logaritmo o una inversa trigonométrica también pueden simplificarse al derivar.
El orden recordado por tipos de funciones orienta; no garantiza el mejor método. Antes de aplicar partes busca si ya hay una derivada interior proporcional que permita sustitución.
Un polinomio que se reduce
Decidir una estrategia para ∫x²eˣdx.
Elegir u
Derivar x² da 2x y después dos: el grado baja.
Elegir dv
eˣdx se integra sin cambiar de tipo.
Prever el resto
La primera aplicación deja ∫2xeˣdx, que puede reducirse otra vez.
Por partes repetidas es útil.
La elección se justifica por lo que hará a la integral pendiente.
Un producto que ya contiene su sustitución
∫2xe^(x²)dx.
Interior
El exponente es x².
Derivada presente
2x coincide con su derivada.
Resolver sin partes
La cadena inversa da e^(x²)+C.
No todo producto pide integración por partes.
Derivar la respuesta confirma la coincidencia exacta.
4. Un factor uno puede hacer visible la elección
Para ∫lnx dx escribimos lnx·1. Derivar el logaritmo produce 1/x e integrar uno produce x, que se cancelan en la integral restante.
Si usamos ln|x| trabajamos por componentes sin cruzar cero. También las inversas trigonométricas pueden combinarse con ese factor uno.
El logaritmo con un coeficiente propio
∫3lnx dx, x>0.
Elegir
u=3lnx, dv=dx; du=3dx/x y v=x.Sustituir
3xlnx−∫x·(3/x)dx.
Simplificar y terminar
3xlnx−3x+C.
La unidad permitió generar el factor x que simplifica el resto.
La derivada es 3lnx+3−3.
Una inversa trigonométrica
∫arctanx dx.
Elección
u=arctanx, dv=dx; du=dx/(1+x²), v=x.Fórmula
x arctanx−∫x/(1+x²)dx.
Resto inmediato
El numerador es media derivada del denominador: x arctanx−(1/2)ln(1+x²)+C.
Válida para todo real.
El argumento del logaritmo es siempre positivo.
5. Repetir significa llevar también los signos y coeficientes
Cada nueva aplicación reduce el grado del polinomio en la integral pendiente. Las restas se anidan, por eso aparecen signos alternos. Los coeficientes vienen de las derivadas sucesivas, no de una regla decorativa de signos.
Una tabla resume derivadas de u y primitivas sucesivas de dv con sus productos diagonales. Si la columna derivada no llega a cero, hay que conservar la integral residual; no basta con detener la tabla donde apetezca.
Dos aplicaciones para un cuadrado
∫x²eˣdx.
Primera
x²eˣ−2∫xeˣdx.
Segunda
∫xeˣdx=xeˣ−eˣ.Reponer con la resta
x²eˣ−2xeˣ+2eˣ+C=eˣ(x²−2x+2)+C.
La siguiente derivada del polinomio es cero y termina el proceso.
El más final procede de restar un término negativo.
Repetir con trigonometría
∫x²cosx dx.
Primera
x²sinx−2∫xsinx dx.
Segunda
∫xsinx dx=−xcosx+sinx.Sustituir
x²sinx+2xcosx−2sinx+C.
La derivada vuelve a x²cosx.
Cada seno integrado aporta su propio signo negativo.
6. Si reaparece la integral, resolver una ecuación
Con exponenciales por seno o coseno, dos aplicaciones pueden devolver un múltiplo de la integral original. La llamamos I y despejamos, en vez de repetir para siempre.
Por ejemplo, I=∫eˣsinx dx y J=∫eˣcosx dx satisfacen I=eˣsinx−J y J=eˣcosx+I al integrar la exponencial. Sustituir da 2I=eˣ(sinx−cosx), así que I=eˣ(sinx−cosx)/2+C. Las ecuaciones se interpretan para primitivas elegidas; una sola C final reúne sus constantes.
La reaparición con un coeficiente distinto
I=∫e^(2x)sinx dx.
Primera, integrando el seno
I=−e^(2x)cosx+2J, donde J=∫e^(2x)cosx dx.Segunda, integrando el coseno
J=e^(2x)sinx−2I.Despejar
I=e^(2x)(2sinx−cosx)−4I; por tanto I=e^(2x)(2sinx−cosx)/5+C.
El divisor cinco viene de sumar I+4I.
Derivar el resultado cancela los términos de coseno y deja el seno original.
Cambiar el factor cambia la ecuación
K=∫e^(3x)cosx dx.
Primera
K=e^(3x)sinx−3H, con H=∫e^(3x)sinx dx.Segunda
H=−e^(3x)cosx+3K.Despejar
10K=e^(3x)(sinx+3cosx), luego K=e^(3x)(sinx+3cosx)/10+C.
No se copia el divisor del ejemplo anterior.
Al derivar, el coeficiente del coseno es (1+9)/10=1.
7. En una integral definida también se evalúa el producto
El producto se evalúa arriba menos abajo y la integral restante conserva los mismos límites. No queda C.
Si el intervalo es impropio, primero truncamos y después tomamos el límite. Hay que revisar el producto de frontera y las integrales pendientes; no se restan infinitos de forma formal.
Un término de abajo que no vale cero
∫₀¹xe^(2x)dx.
Primitiva
F=e^(2x)(x/2−1/4).Evaluar
F(1)=e²/4 y F(0)=−1/4.Restar
F(1)−F(0)=(e²+1)/4.
La contribución inferior cambia el resultado.
El integrando es positivo en (0,1), compatible con el signo de la respuesta.
Pasar al infinito después de calcular
∫₀^∞xe^(−x)dx.
Truncar
En [0,R], una primitiva es −(x+1)e^(−x).
Evaluar
La integral truncada vale 1−(R+1)e^(−R).
Límite
(R+1)/eᴿ→0, por ejemplo aplicando L’Hôpital a ese cociente. La integral vale uno.
La frontera infinita se justificó mediante un límite.
No se sustituyó ∞ como si fuera un número.
8. La comprobación recupera el integrando completo
Esa cancelación explica la fórmula y es una forma de comprobar resultados concretos.
En trigonometría escribe primero la primitiva con su signo: integrar sinx da −cosx e integrar cosx da sinx. Después combina ese signo con la resta de partes. Para integrales definidas revisa además el signo esperado o una cota.
Dos negativos que se convierten en positivo
∫xsin(2x)dx.
Datos
u=x, du=dx, dv=sin(2x)dx, v=−cos(2x)/2.Fórmula
−xcos(2x)/2+(1/2)∫cos(2x)dx.
Terminar y verificar
−xcos(2x)/2+sin(2x)/4+C; su derivada cancela los dos medios cosenos.
La derivada final es xsin(2x).
La resta de una integral negativa produjo el más.
Un resultado breve se comprueba término a término
Proponer F=xsinx+cosx para ∫xcosx dx.
Producto
[xsinx]′=sinx+xcosx.Otro término
[cosx]′=−sinx.Cancelar
Los senos se cancelan y queda xcosx.
F+C es la familia correcta.
Cambiar el más coseno por menos coseno impediría esa cancelación.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Polinomio por exponencial
Integra x e^x.
Reconocer el producto
El factor x baja de grado al derivarlo y eˣ se integra fácilmente.
Elegir
u=x y dv=eˣdx.Completar los datos
du=dx y v=eˣ.Sustituir
∫xeˣdx=xeˣ−∫eˣdx.Terminar
xeˣ−eˣ+C.
Comprobar
La derivada es eˣ+xeˣ−eˣ=xeˣ.La nueva integral era más sencilla.
xe^x−e^x+C.
La derivada del resultado es e^x+xe^x−e^x=xe^x.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un logaritmo
Integra log x para x>0.
Leer el dominio y la notación
Aquí log x significa ln x y x>0.Mostrar el factor uno
Escribimos ln x·1; elegimos u=ln x y dv=dx.Completar
du=dx/x y v=x.Aplicar partes
∫ln x dx=xln x−∫x·(1/x)dx.Resolver el resto
En x>0, x/x=1: queda xln x−x+C.Verificar
La derivada es ln x+1−1=ln x; se conserva el dominio positivo.
x log x−x+C.
La derivada es log x+1−1.
Los símbolos que hemos usado
- u(x)
- Factor que se elige derivar.
- dv=v′(x)dx
- Parte del integrando cuya primitiva v se calcula.
- du=u′(x)dx
- Diferencial que registra la derivada de u.
- I
- Nombre de la integral original cuando reaparece en el cálculo.
- [uv]ₐᵇ
- Valor u(b)v(b)−u(a)v(a) del producto en los extremos.
- C
- Constante arbitraria final de una integral indefinida.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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