Derivar una oscilación e elevado a ixξ la multiplica por iξ. Podemos describir un operador diciendo qué hace a cada frecuencia; así una segunda derivada se vuelve una potencia y algunas inversas se vuelven divisiones. Empezaremos por esa traducción y después veremos qué cambia cuando la regla depende también de la posición.
Si necesitas repasar:
1. El símbolo traduce el operador a posición y frecuencia
=(1/i)
=−i.Entonces de e elevado a ix·ξ es 
por la misma exponencial. Para un diferencial P=Σ
(x)Dᵅ, su símbolo completo es p(x, ξ)=Σ(x)ξᵅ. El principal conserva solo el grado máximo en ξ.
Un multiplicador de Fourier usa una regla a(ξ). Un pseudodiferencial permite una regla a(x, ξ), suave pero no necesariamente polinómica en ξ. Por ejemplo, el peso ⟨ξ⟩ˢ=(1+|ξ|²) elevado a s/2 describe potencias fraccionarias de 1−Δ. Invertir ese peso puede producir un operador que ya no sea diferencial de orden finito.
Traducir una derivada con el signo correcto
P=−∂² en una dimensión.
Una derivada
∂ de e elevado a ixξ da iξ por la exponencial.
Dos derivadas
∂² da (iξ)²=−ξ².Signo exterior
−∂² multiplica por ξ².
El símbolo es ξ², de orden dos.
Es positivo cuando ξ≠0.
Separar completo y principal
P=1−∂².
Completo
El término identidad aporta uno y −∂² aporta ξ².
Principal
El grado más alto es dos: queda ξ².
Evaluación
En ξ=3, el completo vale diez y el principal nueve.
Añadir uno cambia el completo pero no el principal de orden dos.
La inversa exacta en toda la recta usará el completo.
2. Una clase de símbolos controla también todas sus derivadas
La clase 
exige 
. Cada derivada en ξ reduce el crecimiento permitido; derivar en x no lo aumenta. Los índices 1,0 registran esa regla.
En una versión local las constantes dependen de un compacto en x. En la global son uniformes para todo x. Una sola cota de |a| no controla sus derivadas y no basta para todos los teoremas del cálculo. La intersección de las clases de todos los órdenes se llama S⁻∞: decrece con cualquier potencia de frecuencia, junto con sus derivadas.
Comprobar un polinomio
a(ξ)=ξ².
Sin derivar
|ξ²|≤⟨ξ⟩².Derivar una vez
2ξ se controla por 2⟨ξ⟩.
Más derivadas
La segunda es dos y las siguientes cero: cumple orden dos.
También pertenece a órdenes mayores, pero no a orden uno.
ξ²/⟨ξ⟩ crece sin cota al ir a infinito.
No confundir local con global
a(x, ξ)=xξ.
En un compacto
Si |x|≤R, entonces |a|≤R⟨ξ⟩; las demás derivadas también cumplen las cotas locales de orden uno.
En toda la recta
Fijar ξ=1 deja |a(x,1)|=|x|, sin cota uniforme en x.Alcance
El ejemplo sirve en el cálculo local o con recortes de posición.
No es un símbolo global uniforme de la clase indicada.
Los ejemplos de orden de operadores con x se entienden con esa localización.
3. La cuantización convierte la regla en un operador concreto
Aquí usamos Fourier sin factor en la transformada: 
. La inversa lleva (2π)⁻ⁿ. Así la cuantización de Kohn–Nirenberg es 
. En Schwartz, el decaimiento de f̂ hace converger esta integral para símbolos de crecimiento polinómico.
El núcleo formal es la integral de e elevado a i(x−y)·ξ por a(x, ξ), con el mismo factor. Generalmente se interpreta como distribución oscilatoria, por ejemplo introduciendo un recorte χ(εξ) y tomando un límite distribucional. Lejos de x=y, la integración por partes en ξ hace visible que ese núcleo es suave.
Una regla solo de posición
a(x, ξ)=b(x), con b suave y de derivadas acotadas.
Sacar b
No depende de ξ y sale de la integral.
Inversión
La integral restante es exactamente f(x).
Operador
Op(a)f=b(x)f(x).
La multiplicación ordinaria está incluida en la teoría.
El núcleo es b(x)δ(x−y), una distribución, no una función suave sobre la diagonal.
Una regla solo de frecuencia
a(ξ)=1/(1+ξ²).
Aplicar
La transformada de la salida es f̂(ξ)/(1+ξ²).
Multiplicar de vuelta
El símbolo 1+ξ² del operador 1−∂² recupera f̂.
Inversa
Op(a) es la inversa exacta de 1−∂² en este marco de toda la recta.
Los símbolos de frecuencia se componen multiplicando exactamente.
Con dependencia en x aparecerán correcciones.
4. Cambiar dónde se evalúa la posición cambia los términos inferiores
Kohn–Nirenberg evalúa el símbolo en x. Weyl usa (x+y)/2 en el núcleo. Comparten el símbolo principal bajo las identificaciones del cálculo, pero no necesariamente el símbolo completo del mismo operador.
Para xξ en una dimensión, Kohn–Nirenberg da xD. Weyl da (xD+Dx)/2. Aquí Dx significa componer D con la multiplicación por x.
La cuenta es local o sobre pruebas; xξ no tiene las cotas globales uniformes de la sección anterior.
Comprobar el conmutador actuando sobre una función
Comparar D(xf) y xDf.
Producto
D(xf)=−i(f+xf′).Segundo orden
xDf=−ixf′.Diferencia
D(xf)−xDf=−if, es decir [D, x]=−iI.
Coeficiente y derivada no se pueden intercambiar gratuitamente.
La diferencia no contiene derivadas de f: es un término de orden cero.
Comprobar Weyl en un pequeño ejemplo
En una región donde f(x)=x².
Kohn–Nirenberg
xDf=−2ix².Corrección
Restar (i/2)f da −(5i/2)x².
Promedio directo
D(xf)=−3ix²; la media con −2ix² da el mismo resultado.
El término inferior cambia un resultado evaluable.
Podemos realizar este ejemplo con una prueba que coincida con x² en esa región.
5. La composición incluye derivadas cruzadas y la serie es asintótica
Para A=Op(a) y B=Op(b), el símbolo de AB tiene expansión 
. Si a y b tienen órdenes m y m′, truncar antes de |α|=N deja un resto de orden m+m′−N. No se afirma convergencia de la serie infinita.
El primer término es ab. El conmutador baja al menos un orden y su principal escalar es 1/i por el corchete Σ(
−
). El adjunto tiene principal conjugado, con correcciones inferiores para el completo. Un símbolo real no vuelve automáticamente autoadjunto al operador: importan cuantización y dominio.
Una composición que se calcula exactamente
A=D y B es multiplicación por b(x).
Leibniz
D(bf)=bDf−ib′f.Símbolo
Es ξb(x)−ib′(x).
Comparación
El producto ξb era solo el primer término; la primera corrección aporta −ib′.
No queda resto en este caso porque a=ξ no tiene derivadas de orden dos.
Con b=x recuperamos ξx−i.
Un conmutador de segundo orden
Calcular [D², x] sobre pruebas.
Una aplicación
Dx=xD−iI.Otra aplicación
D²x=D(xD−iI)=xD²−2iD.Restar
[D², x]=−2iD, de orden uno.
La composición de orden dos y cero tiene conmutador de orden uno.
La fórmula principal da lo mismo: (1/i)·2ξ=−2iξ.
6. Pseudolocalidad conserva las posiciones singulares, no todo el soporte
Para símbolos globales estándar de orden m con cotas uniformes, Op(a): Hˢ→H elevado a s−m es continuo. El caso de orden cero contiene la acotación L² de Calderón–Vaillancourt, con control de derivadas del símbolo. Una cota arbitraria del valor de a no reemplaza esas condiciones.
En teoría local se usan recortes y operadores propiamente soportados, cuyas proyecciones del soporte del núcleo son propias sobre compactos. Actúan sobre distribuciones sin aportes incontrolados desde infinito. La pseudolocalidad dice sing supp(Pu)⊂sing supp(u), y su versión direccional WF(Pu)⊂WF(u). Puede haber valores nuevos lejos del soporte inicial, pero suaves allí.
Una inversa extiende el soporte de una masa
En R, Q=(1−∂²)⁻¹ y el dato es δ₀.
Núcleo
La salida es G(x)=e elevado a −|x| dividido por dos.Soporte
G es positiva en toda R, aunque el dato solo estaba soportado en cero.
Singularidad
G es suave para x≠0 y tiene una esquina en cero: no crea nuevas posiciones singulares.
No local y pseudolocal son propiedades compatibles.
Se aplica a una entrada compacta; no se está calificando ese núcleo global como propiamente soportado.
Leer una pérdida de regularidad
Un símbolo de orden dos aplicado a u∈H³(Rⁿ).
Entrada
Hay tres órdenes de control Sobolev.
Orden
El operador puede consumir dos.
Salida
La continuidad indicada controla la salida en H¹.
El exponente de salida es s−m.
Es una garantía mínima; un dato particular puede producir una salida más regular.
7. Elipticidad permite invertir a altas frecuencias y corregir los errores
Un símbolo de orden m es elíptico si su módulo está acotado por debajo por c⟨ξ⟩ᵐ a frecuencias suficientemente altas, con el alcance local o global declarado. Para un principal homogéneo escalar esto equivale a que no se anule en covectores no nulos, con la uniformidad correspondiente.
Se empieza con q igual a un recorte de altas frecuencias dividido por a. La composición produce identidad más un error de orden −1. Se corrige ese error y los siguientes órdenes, y se suma asintóticamente. La parametrix Q tiene orden −m y cumple QP=I+R, PQ=I+S con restos regularizantes en la región de trabajo.
Elipticidad en dos dimensiones
Principal p(ξ)=ξ₁²+ξ₂².
Anular
Una suma de dos cuadrados reales es cero solo si ambos son cero.
Fuera del origen
Todo ξ≠0 da p(ξ)>0.Uniformidad
p=|ξ|², que a altas frecuencias es comparable a ⟨ξ⟩².
Es elíptico de orden dos.
La frecuencia cero no contradice la definición de altas frecuencias.
Por qué dividir no basta con coeficientes variables
P=a(x)D, donde a es suave y no se anula en la región; empezar con el símbolo q=1/(a(x)ξ) solo a altas frecuencias.
Primer producto
Los símbolos a(x)ξ y 1/(a(x)ξ) multiplican a uno.
Composición
Las derivadas en x de a y las derivadas en ξ del recíproco generan términos adicionales.
Corregir
Hay que cancelar esos términos de órdenes inferiores para construir la parametrix completa.
Inversión del símbolo principal es el comienzo del procedimiento.
El recíproco se recorta lejos de ξ=0; no se define D⁻¹ global exacto mediante esta cuenta formal.
8. La parametrix convierte control de la ecuación en regularidad de la solución
El segundo término es suave y Q tiene orden −m. Por tanto, si Pu pertenece localmente a Hˢ y P es elíptico allí, u pertenece localmente a H elevado a s+m. En particular, Pu suave implica u suave en la región elíptica.
La versión microlocal usa posición y dirección de frecuencia. Donde el principal no se anula, se puede recuperar regularidad en esa dirección. Un operador no elíptico puede dejar sin observar algunas singularidades: la ecuación Pu=0 no las elimina automáticamente.
Recuperar dos órdenes
P elíptico de orden dos y Pu∈L² local.
Datos
L² es H⁰.
Parametrix
Q tiene orden −2 y envía H⁰ local a H² local, usando recortes apropiados.
Resto
Ru es suave, así que u∈H² local.
La ganancia es s+m=0+2.
No se ha afirmado una condición de borde ni una estimación global sin ellas.
Una dirección que el operador no detecta
En R², u(x₁, x₂)=δ(x₂) y P=D₁.
Independencia
u no cambia con x₁: D₁u=0 en distribuciones.Singularidad
u sigue siendo singular en la recta x₂=0.Principal
ξ₁ se anula en covectores verticales (0, η), justamente las direcciones singulares del dato.
El fallo de elipticidad explica la singularidad que permanece.
Una salida cero y suave no basta para suavidad de entrada sin hipótesis elíptica.
9. Una obstrucción global puede sobrevivir a la inversión local
En una variedad compacta sin borde, el Laplaciano anula las constantes. Es elíptico pero no tiene inversa en todo el espacio de funciones. Una parametrix permite un resto regularizante, incluido un proyector de rango finito suave. No elimina por sí sola núcleo y conúcleo.
En toda Rⁿ, 1−Δ sí tiene inversa exacta por el multiplicador 1/(1+|ξ|²). En una variedad, el principal se interpreta como función en el cotangente y el cálculo se pega en coordenadas; los términos inferiores dependen de elecciones. Fronteras, coeficientes poco regulares y otras clases de símbolos exigen herramientas adicionales.
Resolver en el círculo solo después de separar la constante
P=−∂² en funciones de período 2π.
Modos
e elevado a ikx tiene autovalor k².
Problema
En k=0 el autovalor es cero, por lo que no podemos dividir.
Complemento
En funciones de media cero se divide cada coeficiente por k², k≠0; la composición general deja I menos el proyector sobre constantes.
El resto de rango uno es suave y compatible con una parametrix.
El dato constante uno no está en el rango de P sobre funciones periódicas.
Añadir masa elimina esta obstrucción en el modelo
P=1−∂² en el mismo círculo.
Autovalores
Ahora son 1+k².
Cero incluido
Para k=0 el valor es uno, no cero.Invertir
Todos los modos se dividen por un número positivo.
Aquí el símbolo completo produce una inversa exacta.
El principal sigue siendo ξ²; esa coincidencia no convierte toda parametrix en inversa exacta.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Laplaciano
Halla el símbolo de −∂ₓ² en una dimensión.
Convención
D=−i∂, de modo que −∂²=D².Onda de prueba
Consideramos e elevado a ixξ para leer el símbolo.
Primera derivada
Multiplica por iξ.
Segunda derivada
Multiplica por (iξ)²=−ξ².Signo exterior
−∂² tiene símbolo ξ², de orden dos.
Comprobar
Para ξ≠0 es positivo y comparable a ⟨ξ⟩² a altas frecuencias: es elíptico. La onda solo se usa para leer la regla, no como vector L² global.
El símbolo es ξ², de orden 2.
Es positivo para ξ≠0 y elíptico.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un operador con masa
Halla el símbolo principal de 1−∂ₓ².
Operador
P=1−∂².Completo
La identidad aporta uno y la segunda derivada con signo aporta ξ².
Resultado completo
p(x, ξ)=1+ξ².Grado máximo
El término de grado dos es ξ².
Principal
El símbolo principal es ξ².
Distinguir
En ξ=0 el completo vale uno y el principal cero.El orden sigue siendo dos; una inversa exacta de este modelo divide por el completo.
El símbolo principal es ξ².
Añadir 1 no cambia el orden 2.
Los símbolos que hemos usado
- f̂(ξ)
- En esta lección, Fourier sin factor inicial: f̂(ξ)=∫e^−ix·ξf(x)dx; la inversa lleva (2π)^−n.
- Dⱼ=−i∂ₓⱼ
- Derivada normalizada para que su multiplicador de Fourier sea ξⱼ.
- ⟨ξ⟩
- Peso (1+|ξ|²)^1/2, que trata conjuntamente frecuencias bajas y altas.
- Sᵐ₁,₀
- Símbolos suaves con |∂ₓᵅ∂ξᵝa|≤Cαβ⟨ξ⟩^(m−|β|); las constantes son uniformes en x para la versión global.
- Op(a)
- Cuantización de Kohn–Nirenberg: evalúa el símbolo en la posición de salida x.
- σₘ(P)
- Símbolo principal: clase del símbolo módulo símbolos de orden m−1; para operadores clásicos tiene representante homogéneo principal.
- Ψ⁻∞
- Operadores regularizantes o de orden menos infinito: localmente tienen núcleo suave.
- WF(u)
- Frente de onda: posiciones y direcciones de covectores no nulos donde una distribución no es suave microlocalmente.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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