Calcula pv∫₋₂² 3/x dx.
El integrando es impar y el corte simétrico.
Se retiran simétricamente los intervalos (−ε,ε) de [−2,2].
Las dos integrales son 3(log ε−log 2) y 3(log 2−log ε).
La suma es cero para cada ε, por lo que el valor principal es 0.
¿Cuál es el módulo del multiplicador −i para ξ>0?
Calcula su módulo complejo.
El número −i tiene parte real cero y parte imaginaria −1.
Su módulo es √(0²+(−1)²).
El resultado es 1.
Para ξ<0, ¿cuál es sign ξ?
Es el signo de un número negativo.
Por definición, el signo de un real estrictamente negativo es −1.
Explica por qué ∫₀¹ dx/x no tiene valor finito aunque el valor principal simétrico anterior sea cero.
Aquí no hay lado negativo que cancele.
Cuando ε↓0, log ε→−∞, así que el valor truncado tiende a +∞.
No hay contribución negativa que cancele: no existe valor finito de la integral impropia.
El valor principal de [−1,1] usa otro límite, con dos lados y cortes simétricos.
Deduce H²=−I sobre L²(R) usando multiplicadores.
Eleva al cuadrado −i sign ξ.
En L², aplicar H dos veces multiplica la transformada por (−i sign ξ)².
Por tanto (H²f)^∧=−f̂ casi en todas partes; el valor en cero no afecta a la clase L².