EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Con x₀=−2,c=4,t=3, halla x.
- PISTA 1
Una pista
Usa x₀+ct.
Un desarrollo posible.
- El flujo es x=x₀+ct para velocidad constante.
- El desplazamiento es 4·3=12.
- Sumando la posición inicial, x=−2+12=10.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para x=8,c=2,t=3, halla el pie inicial x−ct.
- PISTA 1
Una pista
Resta el desplazamiento.
Un desarrollo posible.
- La fórmula u(t,x)=u₀(x−ct) evalúa el dato en el pie de la característica.
- Con c=2 y t=3, el desplazamiento es 6.
- El pie que llega a x=8 es 8−6=2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es la velocidad de propagación de u_t−5u_x=0?
- PISTA 1
Una pista
Compara con u_t+c u_x=0.
Un desarrollo posible.
- Comparamos uₜ−5uₓ=0 con uₜ+cuₓ=0.
- El coeficiente es c=−5.
La velocidad es −5: las características se desplazan hacia la izquierda al crecer el tiempo.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Verifica u(t,x)=u₀(x−ct) por la regla de la cadena.
- PISTA 1
Una pista
Calcula u_t y u_x.
Un desarrollo posible.
- Suponiendo u₀ C¹, la regla de la cadena da uₜ(t,x)=−c u₀′(x−ct).
- La derivada espacial es uₓ(t,x)=u₀′(x−ct).
Sumar uₜ+cuₓ produce cero por cancelación.
Al poner t=0 se obtiene u(0,x)=u₀(x), así que se verifica también el dato inicial.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica qué distingue la fase de transporte de la fase pseudodiferencial diagonal.
- PISTA 1
Una pista
Observa el desplazamiento ct.
Un desarrollo posible.
La representación sobre f̂ usa (x−ct)ξ; en el núcleo completo la fase es (x−y−ct)ξ.
La condición estacionaria en ξ es x=y+ct y los covectores de entrada y salida son ambos ξ.
En un pseudodiferencial básico, la fase (x−y)ξ impone x=y, la relación diagonal.
Cuando ct≠0, el transporte sigue una gráfica desplazada; cuando ct=0, vuelve a la diagonal.