Operadores integrales de Fourier

Su relación microlocal básica enlaza la misma posición y el mismo covector de entrada y salida. Puede modificar o eliminar una singularidad sin transportarla a otra posición mediante esa relación.

El transporte tiene núcleo δ(x−y−ct).

Un FIO permite este movimiento y otros en los que también cambia la dirección o el tamaño del covector.

Un núcleo local se escribe como integral de e elevado a iΦ(x, y, θ) por una amplitud a(x, y, θ). En la teoría clásica, Φ es real, suave para θ≠0 y homogénea de grado uno en θ; la amplitud cumple cotas de símbolo a altas frecuencias.

Las constantes de 2π se declaran según la convención.

La integral suele ser oscilatoria y se define con recortes y límites distribucionales. También se controla el soporte para aplicar el operador. Al cambiar el número de variables auxiliares θ cambia la relación entre orden de amplitud y orden de operador. En el modelo de gráfica S(x, η)−y·η entre dimensiones iguales, una amplitud de orden m tiene la convención habitual de operador de orden m.

En el conjunto crítico =0, las diferenciales d() deben ser linealmente independientes. Esto hace suave el conjunto crítico. Trabajamos en regiones con covectores de entrada y salida no nulos. La condición no exige que la Hessiana solo en θ sea invertible.

La relación canónica es . El signo menos de la entrada es esencial. La relación es lagrangiana para la diferencia de las formas simplécticas de salida y entrada: tiene media dimensión y esa diferencia se anula allí. No toda relación es globalmente una gráfica.

Para Φ=S(x, η)−y·η, la condición crítica es y= y el covector de salida es ξ=. Si la matriz mixta ∂²S/∂x∂η es invertible, se puede resolver localmente x a partir de y, η. Así aparece una transformación canónica local.

Otro generador puede modificar simultáneamente posición y frecuencia. La condición canónica compensa esos cambios; no exige que cada coordenada permanezca fija.

Una distribución es suave microlocalmente en (y₀, η₀) si, tras multiplicar por un corte suave no nulo cerca de y₀, su Fourier decrece más rápido que cualquier potencia en un cono alrededor de η₀. El frente de onda WF reúne donde esa condición falla. No incluye covectores cero.

Para un FIO propiamente soportado cuya relación no contiene covectores nulos de entrada ni salida, . Se enlaza cada covector de entrada con los de salida permitidos por C. La inclusión puede ser estricta si la amplitud elimina una singularidad. En una traslación invertible se obtiene igualdad.

En un problema clásico de primer orden con principal real p homogéneo de grado uno a altas frecuencias, buscamos S(t, x, η) con S(0, x, η)=x·η. Para la evolución u+iPu=0, cancelar el orden principal exige . Los siguientes términos dan ecuaciones de transporte para la amplitud.

El flujo correspondiente satisface . Resolver fase y amplitudes sucesivas construye una parametrix local del propagador, con error regularizante. Para otros órdenes y en el marco semiclasico se declara el parámetro y la clase adecuados; no se mantiene sin más la homogeneidad clásica.

Al componer núcleos se integra también la variable intermedia. Las ecuaciones estacionarias identifican sus covectores. Para gráficas canónicas con soportes apropiados y composiciones transversales, el resultado sigue siendo un FIO y los órdenes se suman.

Fase estacionaria calcula las nuevas amplitudes y los factores de firma. Una proyección puede dejar de ser invertible y producir una cáustica aunque la relación en el espacio de fases siga suave. Hay que cambiar la representación o añadir variables auxiliares. Los cambios de fase se organizan globalmente mediante la estructura de Maslov; ignorarlos puede dar fases incorrectas.

Un FIO clásico de orden cero asociado a una gráfica canónica homogénea tiene acotación L² en las versiones localizadas con soporte apropiado.

Las relaciones más generales pueden requerir pérdidas adicionales; se revisan sus proyecciones.

Si T es elíptico en una gráfica κ, una inversa microlocal Q permite conjugar un pseudodiferencial A. El principal de QAT es a∘κ en la región de entrada, si a es el principal de A. Este es el contenido geométrico de Egorov: el observable sigue el mapa de posición y covector.

No afirma inversa global exacta ni unitariedad automática.

El propagador de media onda e elevado a −it|D| tiene fase (x−y)·ξ−t|ξ| para ξ≠0. Es homogénea de grado uno. La condición estacionaria da x=y+tξ/|ξ|: el covector decide la dirección del rayo y la velocidad es uno.

Para Schrödinger aparece un término cuadrático en ξ, que no es homogéneo de grado uno. En el marco semiclasico usamos e elevado a iΦ/h y un frente de onda que observa frecuencias a escala h. Es otra noción que el frente clásico cónico a tiempo fijo.

La geometría sigue siendo útil, pero hay que declarar el marco antes de aplicar una regla de propagación.

La relación geométrica es más estable que una fórmula aislada de fase. Cambiar variables auxiliares obliga a incluir el jacobiano en la amplitud; otras equivalencias de fase necesitan las correcciones correspondientes. No basta conservar solo el conjunto crítico.

La construcción se empieza sobre datos que permitan las integrales indicadas y se extiende a distribuciones con soporte y continuidad apropiados. Para un perfil polinómico transportado, en cambio, podemos comprobar la ecuación directamente por derivación clásica. Una función suave y una masa requieren interpretaciones distintas aunque sigan la misma trayectoria.