En Set, |A|=1 y |B|=4. ¿Cuántas transformaciones h_A⇒h_B hay?
Cuenta funciones A→B.
Yoneda identifica las transformaciones h_A⇒h_B con las funciones A→B.
Si A tiene un solo elemento, una función queda determinada por la imagen de ese elemento.
B tiene 4 opciones, por lo que hay 4 funciones y 4 transformaciones.
¿Cuántas funciones hay del vacío a un conjunto de 7 elementos?
No hay valores por elegir.
Una función del vacío debe asignar imágenes a sus elementos, pero no hay ninguno.
La única relación funcional posible es la función vacía, con el codominio de 7 elementos fijado.
Por tanto hay 1 función; Yoneda da también una única transformación entre los representables correspondientes.
¿Un funtor debe conservar identidades? Responde sí/no.
Es una de sus dos leyes.
La definición de funtor incluye las leyes de identidades y composición.
La respuesta es sí; una regla que falle ahí no es un funtor.
Verifica que la precomposición define h_A contravariante.
Componer f y g invierte el orden al actuar.
Para f:X→Y, definimos h_A(f)(u)=u∘f, con u:Y→A, de modo que se obtiene un elemento de h_A(X).
Explica por qué evaluar una transformación en id_A es suficiente.
Aplica naturalidad a u:X→A.
Todos los valores de η están forzados por a. La construcción inversa ηᵃ_X(u)=F(u)(a) satisface naturalidad, así que esa evaluación es suficiente.