Una función tiene un origen y un destino: no podemos componerla con cualquier otra. Las categorías convierten ese cuidado en un lenguaje general. Construiremos funtores y transformaciones naturales con conjuntos pequeños; después veremos por qué el valor en una sola identidad puede determinar una transformación entera.
Si necesitas repasar:
1. Una categoría guarda objetos, flechas y reglas para componer
Una categoría tiene objetos, conjuntos Hom(X, Y) de flechas y una composición: f: X→Y y g: Y→Z producen g∘f: X→Z. La composición es asociativa y cada X tiene una identidad id_X que no cambia las flechas al componer.
Los conjuntos con funciones forman Set; los módulos con aplicaciones lineales forman otra categoría. Para evitar problemas de tamaño tomamos una categoría pequeña, o fijamos universos cuando usamos Set. Cada Hom debe ser un conjunto: no se trata una clase arbitraria como si fuera uno.
Leer una composición de derecha a izquierda
f:{a, b}→{0,1}, f(a)=0, f(b)=1; g:{0,1}→{rojo, azul}, g(0)=azul, g(1)=rojo.
Primero f
a llega a cero y b llega a uno.
Después g
La composición lleva a a azul y b a rojo.
Extremos
g∘f va de {a, b} a {rojo, azul}. La composición f∘g no está definida con estos extremos.
El orden y los extremos son parte de la cuenta.
Una flecha no se compone porque sus nombres parezcan compatibles, sino por su dominio y codominio.
Una categoría también puede tener un solo objeto
Un objeto *, con flechas e, s y regla s∘s=e.
Identidad
e actúa como identidad y s∘e=e∘s=s.Composición
La tabla es la del grupo de dos elementos, que es asociativa.
Lectura
Hay un objeto y dos morfismos. Contar objetos no cuenta flechas.
Un grupo puede verse como una categoría con un objeto y todas sus flechas invertibles.
La afirmación no identifica categorías generales con grupos.
2. Un funtor debe decir qué hace a los objetos y a todas las flechas
Un funtor covariante F: C→D asigna objetos y flechas manteniendo sus extremos, identidades y composiciones.
Un funtor contravariante se escribe Cᵒᵖ→D y revierte las flechas: F(f): F(Y)→F(X).
Con preimágenes tenemos un ejemplo contravariante sencillo: F(X)=P(X), el conjunto de subconjuntos de X, y F(f)(S)=f⁻¹(S). La preimagen de una composición se hace en orden invertido. Esta dirección será la que usemos en Yoneda.
Transportar un subconjunto mediante preimagen
u:{a, b, c}→{0,1}, con valores cero, uno, uno; S={1}.
Buscar
Se eligen los elementos del origen que llegan a uno.
Resultado
u⁻¹(S)={b, c}, un subconjunto de X.Dirección
u va de X a A; P(u) va de P(A) a P(X).
También u⁻¹(∅)=∅ y u⁻¹(A)=X.
La preimagen cambia el sentido de la flecha entre conjuntos de subconjuntos.
No se confunde con la imagen directa, que usa otra dirección.
Comprobar la ley sin perder el orden
f: X→Y, g: Y→Z y S⊆Z.
Directo
x∈(g∘f)⁻¹(S) equivale a g(f(x))∈S.Por etapas
Eso equivale a f(x)∈g⁻¹(S), es decir x∈f⁻¹(g⁻¹(S)).Igualdad
P(g∘f)=P(f)∘P(g).Con una identidad, su preimagen deja el subconjunto igual.
Las dos leyes del funtor quedan comprobadas por pertenencia.
La igualdad no tiene el orden covariante.
3. El representable Hom(−, A) observa A desde todos los objetos
Es precomposición y convierte h_A en un funtor contravariante por las leyes de composición.
La construcción Hom(A,−), con A como origen fijo, es covariante y usa poscomposición. Las dos notaciones se parecen, pero una flecha de entrada actúa en direcciones distintas. Escribir los tipos evita intercambiarlas.
Contar observaciones desde un conjunto de dos elementos
A={0,1}, X={a, b}.
Elegir valores
Cada uno de a y b puede ir a cero o uno.
Lista
Las funciones se codifican por (0,0),(0,1),(1,0),(1,1). Así h_A(X) tiene cuatro elementos.
Precomponer
Si f:{*}→X toma b, h_A(f) lee el segundo valor de cada pareja.
La acción sobre flechas también puede calcularse, además de contar objetos.
El resultado de precomponer es una función desde {*}, identificable con su valor en A.
El vacío tiene una observación única desde sí hacia cualquier destino
X=∅ y A arbitrario.
Datos
Una función ∅→A no necesita asignar ningún valor.
Unicidad
Su gráfica es necesariamente el conjunto vacío. Hay exactamente una.
Contraste
Si A=∅ y X no es vacío, no hay ninguna función X→A.
h_A(∅) es un conjunto de un elemento para cualquier A.
Tener una función vacía no significa tener cero funciones.
4. Naturalidad hace coincidir dos rutas para cada flecha
Para F, G: Cᵒᵖ→Set, una transformación η: F⇒G consiste en funciones η_X: F(X)→G(X) compatibles con todas las f: X→Y: G(f)∘η_Y=η_X∘F(f). Ambas rutas parten de F(Y) y terminan en G(X).
Elegir funciones en cada objeto no garantiza naturalidad. Esa condición relaciona las componentes. Puede probarse mediante una fórmula válida para todas las flechas; comprobar unas pocas solo es suficiente si se demuestra que generan todos los casos.
Complementar subconjuntos es una operación natural
F=G=P, contravariantes por preimagen.
Componente
η_X(S)=X∖S.Dos rutas
Para f: X→Y y T⊆Y, la primera da f⁻¹(Y∖T); la segunda X∖f⁻¹(T).Pertenencia
x está en ambas exactamente cuando f(x) no está en T. Luego las dos rutas coinciden para todo f.
La familia de complementos es natural.
Cada complemento se toma dentro del conjunto de su componente.
Una elección que parece inocente puede romper la naturalidad
Para Id: Set→Set, identidad en {*} e intercambio en {0,1}.
Flecha de prueba
i:{*}→{0,1}, con i(*)=0.Una ruta
Primero identidad en {*} y después i produce cero.
La otra
Primero i y después intercambio produce uno. Las rutas son distintas.
Esas dos componentes no pueden pertenecer a una transformación natural de Id a Id.
Aquí los funtores son covariantes; el cuadrado se escribe con esa dirección.
5. Yoneda propone evaluar la transformación en una identidad
El lema afirma una biyección 
.
Está bien tipado: id_A es un elemento de h_A(A) y η_A llega a F(A).
Este paso explica por qué no hay elecciones independientes en las demás componentes.
La identidad recupera el subconjunto que originó toda la familia
A={0,1}; η_X(u)=u⁻¹({1}).
Componente en A
η_A toma funciones A→A y devuelve subconjuntos de A.Identidad
η_A(id_A)=id_A⁻¹({1})={1}.Recuperar
Para cualquier u: X→A, la fórmula forzada vuelve a dar F(u)({1})=u⁻¹({1}).
El subconjunto {1} determina todos los valores de esta transformación.
No se evalúa la componente de X en id_A si X no es A.
Un valor en otra función puede perder información
Comparar S={0} y T=∅ como datos para el funtor P en A={0,1}.
Función elegida
Tomar u:{*}→A con u(*)=1.Preimágenes
u⁻¹(S)=∅ y u⁻¹(T)=∅.Esa observación aislada no distingue los datos.
Identidad
id_A⁻¹(S)=S e id_A⁻¹(T)=T, que sí son diferentes.
La identidad tiene una función concreta que una prueba arbitraria no reemplaza.
Yoneda no afirma que cualquier evaluación determine la transformación.
6. Construir la transformación inversa demuestra la biyección completa
Para f: Y→X, la ley contravariante da F(f)(F(u)(a))=F(u∘f)(a), que es justamente la naturalidad.
Evaluar esta familia en id_A recupera a porque F(id_A) es identidad. Si empezamos con η, la fórmula forzada del apartado anterior recupera todos sus valores. Las dos construcciones son inversas: esto prueba la biyección, además de ofrecer una receta.
Enumerar las transformaciones hacia el funtor de subconjuntos
A={0,1}, F=P.
Datos posibles
F(A) tiene los cuatro subconjuntos ∅,{0},{1}, A.
Construcciones
Cada S define ηˢ_X(u)=u⁻¹(S), con naturalidad por la ley de preimagen.
Distintas y completas
Evaluar en id_A recupera S, por lo que son distintas. Yoneda prueba que no hay otras.
Hay cuatro transformaciones naturales h_A⇒P.
No se cuentan de forma independiente las funciones en cada objeto X.
Usar otro representable como destino
F=h_B y a=g: A→B.
Tipo
g pertenece a h_B(A)=Hom(A, B).Receta
Para u: X→A, F(u)(g)=g∘u.Naturalidad
Para f: Y→X, g∘(u∘f)=(g∘u)∘f por asociatividad.
Un morfismo g produce la transformación de poscomposición.
No se invierte g: la dirección sigue siendo A→B.
7. Entre representables se recuperan exactamente los morfismos originales
La correspondencia g↦(u↦g∘u) conserva identidades y composiciones; evaluar en id_A recupera g.
Por eso A↦h_A es plenamente fiel: induce una biyección en cada conjunto de morfismos. No dice que todo prehaz sea representable ni que comprobar una sola componente arbitraria siempre sea suficiente.
Contar transformaciones mediante funciones pequeñas
A y B tienen dos elementos cada uno.
Morfismos
Una función A→B elige dos valores en un conjunto de dos: hay 2²=4.
Transformaciones
Cada función produce una transformación por poscomposición.
Sin duplicados
Dos funciones distintas se recuperan distintas al evaluar en id_A. No producen la misma transformación.
Hay cuatro transformaciones h_A⇒h_B.
La cuenta no exige listar todas las funciones Hom(X, A) para todos los X.
La composición de familias sigue la composición de las funciones
g: A→B y h: B→D.
Primera familia
u: X→A se transforma en g∘u.Segunda
Se transforma después en h∘(g∘u)=(h∘g)∘u.Identidad
Si g=id_A, cada u queda igual.Ambas leyes del funtor de Yoneda se cumplen.
El paso a representables conserva la estructura y todos los morfismos.
Plenamente fiel es más que conservar solo los nombres de los objetos.
8. Representable significa que una descripción universal funciona en todos los objetos
F es representable si hay un objeto A y un isomorfismo natural h_A≅F. Un elemento universal a∈F(A) debe hacer que u↦F(u)(a) sea biyección para cada X. No basta que funcione en el objeto A.
Si dos objetos representan F, sus isomorfismos naturales dan transformaciones inversas entre representables. Yoneda las convierte en morfismos inversos entre los objetos. El representante es único hasta isomorfismo compatible con el dato universal, no por igualdad literal.
Los subconjuntos están representados por un conjunto de dos elementos
F(X)=P(X), A={0,1}, dato universal S={1}.
De función a subconjunto
u: X→A produce u⁻¹({1}).De subconjunto a función
Para T⊆X, su característica χ_T vale uno en T y cero fuera. Es la única función que da esa preimagen.
Compatibilidad
La característica de f⁻¹(T) es χ_T∘f, de modo que las biyecciones son naturales.
P es representable por {0,1} en Set.
La prueba da existencia, unicidad y compatibilidad.
Dos representantes isomorfos no tienen por qué ser el mismo conjunto
El funtor constante de un elemento.
Representantes
Cualquier conjunto de un elemento A tiene exactamente una función X→A para cada X.
Presentaciones
{*} y {7} son conjuntos distintos que producen esa misma descripción natural.
Unicidad adecuada
La única biyección entre ellos hace compatibles las representaciones.
La unicidad pertinente es un isomorfismo, no una igualdad de escrituras.
La flecha única es invertible porque ambos conjuntos tienen un elemento.
9. Yoneda identifica mapas; la representabilidad sigue siendo una pregunta adicional
El método puede usarse en propiedades universales y en funtores de puntos geométricos. Primero hay que declarar la categoría y el funtor; después se busca un objeto y un elemento universal. La naturalidad mantiene compatibilidad con todos los cambios de objeto.
No toda familia de conjuntos es representable. Una condición necesaria puede bastar para descartar una propuesta sin resolver todos sus componentes. También siguen vigentes las cuestiones de tamaño: trabajar con Set usa el universo fijado al comienzo.
Un prehaz constante de dos elementos no está representado en Set
F(X)={0,1} para todo X, con F(f)=identidad.
Funtor
Las identidades y composiciones se conservan, pues todas sus flechas son identidad.
Vacío
F(∅) tiene dos elementos.
Obstrucción
Cualquier h_A(∅)=Hom(∅, A) tiene uno.No puede haber biyección en ese objeto, y por tanto no puede haber isomorfismo natural.
Ser un funtor válido no implica ser representable.
Se usa una condición necesaria de cualquier representación.
Una transformación no se adivina componente a componente
Se conoce a=η_A(id_A).
Para cada X
Todo u∈h_A(X) tiene el tipo u: X→A.Valor forzado
Naturalidad exige η_X(u)=F(u)(a).No quedan valores libres en esa componente.
Verificar existencia
La ley del funtor prueba que esos valores sí forman una transformación, como se hizo en la dirección inversa.
La información se reduce a un dato por una prueba, no por una analogía.
La fórmula debe conservar los tipos y la dirección contravariante.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Componer representables
Dados u:X→A y g:A→B, construye h_A⇒h_B.
Fijar el morfismo
g: A→B será el dato que define la transformación.Componente
Para cada X, definir η_X: Hom(X, A)→Hom(X, B) por η_X(u)=g∘u.
Extremos
La composición tiene origen X y destino B, como exige el codominio.
Naturalidad
Si f: Y→X, η_Y(u∘f)=g∘u∘f=η_X(u)∘f.Las dos rutas coinciden.
Identidad
η_A(id_A)=g∘id_A=g.Conclusión
La transformación es la poscomposición por g; evaluar en la identidad recupera su dato.
La poscomposición por g.
Evaluar en id_A recupera g.
EJEMPLO RESUELTO 2
Contar una transformación
En Set, A tiene 2 elementos y B tiene 3. ¿Cuántas transformaciones h_A⇒h_B hay?
Usar Yoneda
Nat(h_A, h_B) está en biyección con Hom(A, B).
Origen
A tiene dos elementos; una función debe asignarles un valor a cada uno.
Primer valor
Para el primero hay tres elecciones en B.
Segundo valor
Para el segundo hay otras tres, sin obligación de inyectividad.
Contar
El total es 3·3=9.Comprobar
Cada función da una transformación distinta porque se recupera evaluando en id_A.
Hay 3²=9.
Cada función produce una transformación diferente.
Los símbolos que hemos usado
- C
- Categoría; suponemos conjuntos de morfismos entre objetos y control de tamaños mediante universos.
- Hom_C(X,Y)
- Conjunto de morfismos de X a Y en C.
- Cᵒᵖ
- Categoría opuesta: mismos objetos y flechas invertidas.
- F:Cᵒᵖ→Set
- Funtor contravariante a conjuntos; una flecha X→Y induce F(Y)→F(X).
- h_A
- Funtor representable contravariante h_A(X)=Hom_C(X,A).
- η:F⇒G
- Transformación natural: familia de morfismos entre los valores de F y G que respeta todas las flechas.
- Nat(h_A,F)
- Colección de transformaciones naturales entre esos funtores, identificada por Yoneda con el conjunto F(A).
- id_A
- Morfismo identidad de A, elemento de Hom_C(A,A).
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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