Una sucesión de flechas puede componer cero y aun así dejar elementos sin explicar. La exactitud exige identificar exactamente qué llega y qué se anula. Empezaremos con mapas entre enteros y planos, separaremos núcleo, imagen y conúcleo, y después comprobaremos cuándo una extensión puede partirse como suma directa.
Si necesitas repasar:
1. La estructura aditiva permite sumar flechas con los mismos extremos
En una categoría aditiva, cada Hom(A, B) es un grupo abeliano y la composición es bilineal. Hay flechas cero, un objeto cero y biproductos finitos A⊕B que sirven a la vez de producto y coproducto.
Los módulos, los grupos abelianos y los espacios vectoriales son ejemplos. Que una categoría sea abeliana es una condición sobre sus flechas y construcciones; no significa simplemente que sus objetos lleven alguna operación.
Sumar aplicaciones lineales punto a punto
f, g: R²→R, con f(x, y)=x y g(x, y)=2y.
Mismos extremos
Las dos tienen dominio R² y codominio R.
Suma
(f+g)(x, y)=x+2y es otra aplicación lineal.Bilinealidad
Para h: R→R con h(t)=3t, h∘(f+g)=3x+6y=h∘f+h∘g.
La suma es compatible con componer.
No se suma una flecha R²→R con otra de codominio diferente.
El biproducto une proyecciones e inclusiones
A⊕B en módulos.
Flechas
i_A(a)=(a,0), i_B(b)=(0, b), p_A(a, b)=a y p_B(a, b)=b.Composiciones
p_Ai_A=id_A, p_Bi_B=id_B y las dos composiciones cruzadas son cero.
Reconstrucción
i_Ap_A+i_Bp_B=id_(A⊕B).Cada (a, b) se recupera como (a,0)+(0, b).
Las identidades explican por qué producto y coproducto se reúnen.
El cero en cada coordenada pertenece al módulo correspondiente.
2. Núcleo y conúcleo son construcciones universales, no solo nombres de conjuntos
Para f: A→B, el núcleo k: K→A satisface fk=0 y toda h: T→A con fh=0 se factoriza de manera única por k.
El conúcleo q: B→Q satisface qf=0 y cualquier g: B→T que anula f se factoriza de manera única por q.
Las construcciones son únicas hasta isomorfismo compatible con esas flechas. En una categoría abstracta se usan estas propiedades, sin suponer que cada objeto tenga elementos ordinarios.
Factorizar por un núcleo concreto
f: R²→R, f(x, y)=x+y; h: R→R², h(t)=(2t,−2t).
Núcleo
K={(a,−a): a∈R}, con k(a)=(a,−a).Anulación
f(h(t))=2t−2t=0.Factorización
h=k∘u con u(t)=2t.Es única porque la primera coordenada de h ya obliga a ese valor.
La propiedad universal se ve en una fórmula y su unicidad.
K se ha identificado con R mediante k; no se confunde el núcleo con todo el plano.
El conúcleo conserva lo que falta por alcanzar
f: Z→Z, f(n)=3n.
Núcleo
3n=0 obliga a n=0.Imagen
f(Z)=3Z.Conúcleo
Z/3Z. Cualquier homomorfismo que anule todos los múltiplos de tres depende solo del residuo de n y factoriza de forma única por ese cociente.
Núcleo cero y conúcleo no cero pueden coexistir.
La multiplicación por tres es inyectiva y no sobreyectiva en Z.
3. Una categoría abeliana identifica coimagen con imagen mediante el mapa canónico
Se define im f=ker(coker f) y coim f=coker(ker f).
En módulos es el primer teorema de isomorfía: A/ker f≅f(A).
Una categoría abeliana es aditiva, tiene todos los núcleos y conúcleos y exige que ese mapa canónico sea siempre isomorfismo. La última condición importa: en categorías aditivas más generales puede fallar.
La imagen no es todo el codominio
f: Z→Z, f(n)=3n.
Coimagen
El núcleo es cero y la coimagen es Z.
Imagen
El núcleo del cociente Z→Z/3Z es 3Z.Isomorfismo
El mapa canónico Z→3Z, n↦3n, es biyectivo y su inversa 3n↦n es homomorfismo.No se está afirmando que f sea sobreyectiva hacia todo Z.
La coimagen y la imagen son isomorfas con sus extremos correctos.
Cambiar el codominio de Z a 3Z es una parte esencial.
Tener núcleos y conúcleos no basta en una categoría aditiva
Categoría de grupos abelianos sin torsión, f: Z→Z dado por ×2.
Núcleo y conúcleo
El núcleo es cero. El conúcleo en esta categoría es cero: cualquier mapa a un grupo sin torsión que anule 2Z debe anular también uno.
Coimagen e imagen
Ambas son Z, pero el mapa canónico entre ellas es multiplicar por dos.
Fallo
No tiene inversa entera. Esta categoría, con conúcleo obtenido quitando torsión al cociente usual, no es abeliana.
La condición del mapa canónico no puede omitirse.
El conúcleo depende de la categoría: en todos los grupos abelianos sería Z/2Z.
4. Composición cero da una inclusión; exactitud exige las dos
En módulos se prueba mediante ambas inclusiones.
Que la composición sea cero solo prueba imagen⊆núcleo. Falta que cada elemento anulado por la segunda flecha pueda levantarse desde A. Esta diferencia separa un complejo de una sucesión exacta.
Dos mapas cero pueden dejar un núcleo enorme
0→Z→0.
Composición
Es cero, como cualquier flecha desde el objeto cero.
Imagen entrante
La primera solo alcanza cero en Z.
Núcleo saliente
La segunda anula todos los enteros. Imagen y núcleo no coinciden.
La sucesión falla en Z.
Composición cero es necesaria y no suficiente.
Una coordenada libre puede revelar exactamente qué falta
i: R→R³, i(t)=(t,0,0); p(x, y, z)=z.
Componer
p(i(t))=0.Comparar
im i es el eje x; ker p es todo el plano z=0.El vector (0,1,0) está en el núcleo y no en la imagen.
Corregir
Con dominio R² e i(a, b)=(a, b,0), la imagen sí es ese plano y la sucesión es exacta en R³.
La inclusión faltante se identifica con un vector concreto.
La corrección cambia el mapa y el dominio, no solo una fórmula de dimensiones.
5. Una sucesión corta exacta fija subobjeto, cociente y mapas
En 0→A→B→C→0, la exactitud al principio hace al primer mapa monomorfismo y al final hace al segundo epimorfismo. En módulos son inyectividad, sobreyectividad e igualdad de imagen con núcleo en B.
Para espacios vectoriales finitos, dim B=dim A+dim C. Para grupos finitos, |B|=|A||C|, porque las fibras del cociente tienen el tamaño de A. Esas igualdades no reconstruyen los mapas ni obligan a que B sea una suma directa.
Verificar una extensión finita con relaciones
0→Z/2Z → Z/4Z → Z/2Z→0, con i([a])=[2a] y p reducción módulo dos.
Primer mapa
Es válido y distingue las dos clases: su imagen es {0,2}.
Segundo
Es sobreyectivo y su núcleo también es {0,2}.
Exactitud
Las tres condiciones se cumplen y 4=2·2 concuerda con las cardinalidades.
El término central conserva la relación de orden cuatro.
No se ha probado escisión al contar elementos.
Los mismos extremos pueden dar otro término central
0→Z/2Z → (Z/2Z)² → Z/2Z→0, inclusión primera coordenada y proyección segunda.
Imagen
La inclusión alcanza las parejas (a,0).
Núcleo
Son exactamente las parejas que la proyección anula, y esta alcanza ambos valores.
Diferencia
También es exacta y su central tiene cuatro elementos, pero todos los no nulos tienen orden dos; no es Z/4Z.
Subobjeto y cociente abstractos no determinan el grupo central.
Las relaciones y los mapas forman parte de una extensión.
6. Una sección debe respetar las operaciones de la categoría
Una sucesión corta escinde si existe un morfismo s: C→B con p∘s=id_C.
La diferencia b−s(c) está en ker p y procede de un único a porque i es inyectiva. Eso demuestra existencia y unicidad de la descomposición. Elegir representantes como conjuntos no basta: s debe ser lineal o un homomorfismo, según el contexto.
Construir una sección y la descomposición que produce
i(t)=(t, t) en R²; p(x, y)=y−x.
Exactitud
El núcleo de p es la diagonal, igual a la imagen de i.
Sección
s(c)=(0, c) es lineal y p(s(c))=c.Descomponer
(x, y)=(x, x)+(0, y−x)=i(x)+s(y−x).Los dos coeficientes son únicos.
La sucesión escinde con una fórmula verificable.
No se eligió una sección que deba pertenecer a la diagonal.
Una función de representantes puede fallar como homomorfismo
s: Z/2Z→Z/4Z, s([0])=[0], s([1])=[1].
Como conjuntos
La reducción de s([a]) devuelve [a]. Es una sección de la función subyacente.
Suma
s([1]+[1])=s([0])=[0], pero s([1])+s([1])=[2].Fallo
No respeta la operación. No prueba escisión de grupos abelianos.
La categoría decide qué secciones son válidas.
La relación dos veces [1] igual a cero debe conservarse.
7. Los espacios vectoriales finitos escinden levantando una base
Elegimos una base c₁,…, c_r de C y preimágenes b_i en B. La fórmula s(∑a_i c_i)=∑a_i b_i está bien definida por la unicidad de las coordenadas de la base, y p∘s=id.
En módulos, el mismo argumento funciona para un cociente libre o, más generalmente, proyectivo. Si sus generadores tienen relaciones, un levantamiento arbitrario puede incumplirlas: eso es lo que no ocurre con una base libre.
Levantar dos vectores de una base
p: R³→R², p(x, y, z)=(x+y, z).
Base del destino
Tomar e₁=(1,0) y e₂=(0,1).Preimágenes
Podemos tomar b₁=(1,0,0), b₂=(0,0,1).Extender
s(a, b)=(a,0, b) es lineal y p(s(a, b))=(a, b).El núcleo restante está generado por (1,−1,0).
El plano cociente tiene una copia lineal dentro de R³.
La sobreyectividad garantiza las preimágenes de la base.
La sección no tiene por qué ser única
p: R²→R, p(x, y)=y.
Una familia
Para cualquier λ real, s_λ(c)=(λc, c).Verificar
Cada s_λ es lineal y p(s_λ(c))=c.Diferentes
Con λ=0 y λ=1 se obtienen imágenes distintas.Existir escisión no significa elegir una descomposición canónica.
La existencia y la unicidad son preguntas diferentes.
Todas las secciones de esta forma satisfacen la misma proyección.
8. La torsión puede impedir una escisión aunque haya exactitud
En 0→Z → Z → Z/2Z→0, primera flecha ×2 y segunda el cociente, la imagen son los enteros pares y coincide con el núcleo de la reducción. Es exacta.
Si hubiera una sección de grupos, b=s([1]) tendría que satisfacer 2b=s(2[1])=0. El único entero así es cero, cuya clase no es [1]. La relación de orden dos del destino impide levantar el generador mediante un homomorfismo.
Elegir el entero uno no resuelve la relación
Intentar s([1])=1 en Z.
Residuo
Uno sí proyecta a la clase [1].
Relación
Pero 2s([1])=2, mientras s(2[1])=s([0])=0.Conclusión
La elección respeta el residuo y falla como homomorfismo. No hay otra elección posible que arregle el problema de torsión.
La falta de sección no es falta de representantes.
Cualquier entero no nulo tiene orden infinito.
También Z/4Z impide la sección hacia su cociente módulo dos
p: Z/4Z→Z/2Z.
Candidatos
Los elementos que proyectan a [1] son [1] y [3].
Doblar
El doble de cada uno es [2], no cero.
Orden
Una imagen de un elemento anulado por dos debería estar anulada por dos. Ningún candidato cumple.
La extensión finita del apartado anterior es exacta y no escindida.
La otra extensión con central (Z/2Z)² sí escinde por la segunda coordenada.
9. Los funtores pueden conservar solo parte de la exactitud
Un funtor exacto preserva sucesiones cortas exactas. Hom en la variable adecuada es exacto por la izquierda: puede fallar al prolongar mapas en el extremo derecho. Tensor es exacto por la derecha: puede perder una inyección inicial.
Estos defectos motivan Ext y Tor. Antes de calcularlos hay que fijar la variable y la dirección de las flechas. Los lemas de diagramas, como el de la serpiente, organizan núcleos y conúcleos con esas mismas condiciones.
Un mapa desde el subgrupo puede no extenderse
h:2Z→Z, h(2n)=n.
Homomorfismo
La fórmula respeta la suma.
Extensión supuesta
Si h se prolongara a H: Z→Z, existiría un entero b=H(1).Imposibilidad
H(2)=2b debería ser h(2)=1.Ningún entero cumple 2b=1.
Hom no tiene por qué preservar la sobreyectividad final.
El obstáculo está en prolongar un mapa respetando las operaciones.
Una inyección puede hacerse cero al cambiar coeficientes
Z → Z mediante ×2; tensorizar con Z/2Z.
Antes
Multiplicar por dos es inyectivo en Z.
Identificación
Cada Z⊗Z/2Z se identifica con Z/2Z.
Después
El mapa transformado es multiplicación por dos en Z/2Z, que es cero sobre un dominio no nulo. Ya no es inyectivo.
La exactitud por la derecha del tensor no garantiza la izquierda.
Este fallo es el que empezará a medir Tor.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Proyección de un plano
Verifica 0→R→R²→R→0 con i(a)=(a,0), p(x,y)=y.
Inyección
i(a)=(a,0) es lineal y solo envía cero a (0,0).Proyección
p(x, y)=y es sobreyectiva, porque y=p(0, y).Núcleo
ker p={(x,0): x∈R}.Imagen
im i es exactamente ese mismo eje. La sucesión es exacta.
Sección
s(y)=(0, y) es lineal y p(s(y))=y.Escisión
Cada (x, y)=i(x)+s(y), de forma única.La sucesión escinde.
La sucesión es exacta y escinde por s(y)=(0,y).
p(s(y))=y.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una extensión que no escinde
Estudia 0→Z --×2→ Z→Z/2Z→0.
Primera flecha
×2: Z→Z es inyectiva, pues 2n=0 implica n=0.Imagen y núcleo
La imagen es 2Z, que es el núcleo de la reducción módulo dos.
Sobreyectividad
Cada clase tiene un representante entero, así que el cociente es sobreyectivo. La sucesión es exacta.
Suponer sección
Si s fuera homomorfismo y sección, b=s([1]) cumpliría 2b=s([0])=0.Contradicción
En Z eso obliga a b=0, que no proyecta a [1].Conclusión
La sucesión no escinde: Z no contiene la torsión que exigiría la sección.
Es exacta y no escinde.
Z no contiene torsión no nula.
Los símbolos que hemos usado
- Hom(A,B)
- Grupo abeliano de morfismos entre A y B en una categoría aditiva.
- 0
- Objeto cero, a la vez inicial y final; también denota el morfismo nulo cuando los extremos están fijados.
- ker f
- Núcleo de f: subobjeto universal que se envía a cero.
- coker f
- Conúcleo: cociente universal que hace cero a f.
- im f
- Imagen categórica, definida como núcleo del conúcleo de f.
- coim f
- Coimagen: conúcleo del núcleo de f.
- 0→A→B→C→0
- Sucesión corta exacta: A se incluye como el núcleo del mapa sobre C.
- Sección s
- Morfismo C→B con p∘s=id_C para una proyección p:B→C.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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