En un sistema mezclante, con medidas 1/4 y 2/3, halla el límite de intersección.
Multiplica las probabilidades.
La mezcla da el límite μ(A)μ(B), sin necesidad de conocer la geometría particular de A y B.
El límite es1/6; la igualdad se refiere al tiempo que tiende a infinito, no a todas las intersecciones finitas.
Calcula T(3/4) para T(x)=2x mod1.
Duplica y toma parte fraccionaria.
Tomar módulo1 significa restar la parte entera, aquí1.
La siguiente iteración llega a0, recordando que puede haber órbitas excepcionales en un sistema mezclante para Lebesgue.
¿Mezcla implica ergodicidad para una probabilidad invariante? Responde sí/no.
Aplica mezcla a un conjunto invariante consigo mismo.
Sí: toma cualquier conjunto A invariante módulo conjuntos nulos y escribe p=μ(A).
Para todo n, μ(T⁻ⁿA∩A)=p; la mezcla fuerza que su límite sea p².
Por tanto p=p², es decir,p(1−p)=0, y solo son posibles p=0 o1. Es exactamente la definición de ergodicidad.
Demuestra la implicación mezcla⇒ergodicidad.
Resuelve p=p².
Sea A un conjunto medible con T⁻¹A=A módulo nulos. Por invariancia de la medida, la misma igualdad vale al iterar y μ(T⁻ⁿA∩A)=μ(A).
La sucesión del primer miembro es constante.
Así todos los conjuntos invariantes son triviales en medida y el sistema es ergódico.
Explica por qué una rotación racional no es ergódica respecto de Lebesgue.
Alguna potencia es identidad.
El conjunto A={cos(2πqx)>0} es medible e invariante por la rotación y su inversa.
En cada periodo del coseno la región positiva ocupa la mitad; por ello Lebesgue(A)=1/2.
Este conjunto de medida intermedia viola la definición ergódica. La periodicidad de la transformación ayuda a construirlo, pero conviene exhibirlo para evitar una inferencia falsa en otros espacios.