Ergodicidad y mezcla

Una transformación medible T conserva una probabilidad μ cuando μ(T⁻¹A)=μ(A) para todo conjunto medible A. T⁻¹A reúne los puntos que terminarán en A después de un paso. Se usan preimágenes, que están definidas aunque T no sea invertible.

Si escogemos un punto al azar con distribución μ y aplicamos T, su nueva distribución sigue siendo μ. Los puntos sí pueden moverse y los conjuntos no tienen por qué quedar fijos. Para D(x)=2x mod1, dos ramas de preimagen compensan su menor longitud; esto preserva Lebesgue en [0,1).

T es ergódica respecto de μ si todo A con T⁻¹A=A, salvo conjuntos nulos, tiene μ(A)=0 o uno. No exige que los únicos conjuntos invariantes sean el vacío y el espacio: permite otros de medida cero o total. La propiedad ignora cambios en partes nulas.

Una parte invariante con probabilidad entre cero y uno guarda para siempre la información de haber empezado allí. Equivalentemente, toda función invariante g∘T=g en L² debe ser constante casi en todas partes. Las indicadoras y los conjuntos de nivel conectan ambas formulaciones.

Para g∈L¹(μ), los promedios Aₙg(x)=n⁻¹Σⱼ₌₀ⁿ⁻¹g(Tʲx) convergen para casi todo x a una función invariante. En general es la esperanza condicional E(g|I), que puede depender de la componente invariante. Si T es ergódica, el límite es ∫g dμ.

Ergodicidad identifica esa frecuencia con μ(A) para casi todo punto, no cada órbita. El conjunto excepcional puede depender de g; para una familia numerable de observables se pueden intersectar los conjuntos de medida total.

Mezcla exige para todos A y B medibles. La intersección describe comenzar en B y llegar a A después de n pasos. El producto es el valor que tendrían esos dos sucesos si fuesen independientes.

Equivalentemente, para g,h∈L² las correlaciones centradas tienden a cero. En observables complejos se conjuga h. La definición no fija una velocidad de decaimiento y no exige independencia exacta en cada n finito. Una tasa exponencial o polinómica necesita más hipótesis y una clase de observables.

Si A es invariante y p=μ(A), todas sus preimágenes coinciden con A módulo nulos. La intersección T⁻ⁿA∩A tiene medida p. Mezcla exige que ese mismo valor tienda a p². Luego p=p² y p solo puede ser cero o uno: queda probada ergodicidad.

Ergodicidad da convergencia del promedio de correlaciones, no necesariamente de cada término. Mezcla débil pide que el promedio del valor absoluto del error tienda a cero. Se tiene mezcla ⇒ mezcla débil ⇒ ergodicidad; los recíprocos fallan en general. Las versiones topológicas con abiertos son propiedades diferentes.

Si α=p/q es racional, cos(2πqx) no cambia al aplicar Rα: su argumento aumenta en 2πp. Por tanto A={cos(2πqx)>0} es invariante y tiene medida un medio.

Esto prueba que esa rotación no es ergódica para Lebesgue. La sola igualdad Rαᵠ=id no sería una prueba válida en cualquier espacio de probabilidad, como muestra el ciclo finito de dos puntos. La construcción del conjunto de medida intermedia usa la estructura continua del círculo.

Si α es irracional y g∈L² es invariante por Rα, sus coeficientes de Fourier cumplen . Para k≠0 el factor no es cero; desaparecen todas las frecuencias no constantes. Por completitud de Fourier, g es constante casi en todas partes: la rotación es ergódica.

Pero para e₁(x)=exp(2πix), de media cero, la correlación con su copia desplazada es . Tiene módulo uno y no tiende a cero: no hay mezcla. El promedio de las fases sí tiende a cero por la suma geométrica, mientras que el promedio de sus módulos sigue siendo uno.

Para D(x)=2x mod1, eₖ(x)=exp(2πikx) satisface . Su producto con el conjugado de eℓ integra uno si 2ⁿk=ℓ y cero en otro caso. Para frecuencias fijas no nulas, esa igualdad deja de ocurrir cuando n crece.

La factorización límite vale para polinomios trigonométricos y se extiende a L² por densidad. Como D conserva medida, componer con Dⁿ conserva la norma L² y los errores de aproximación se controlan uniformemente por Cauchy–Schwarz. Esa isometría no exige que D sea invertible. Así se prueba mezcla para Lebesgue, no solo para algunos intervalos.

Poincaré asegura que casi todo punto de un conjunto A vuelve a él infinitas veces si se conserva una probabilidad. No necesita ergodicidad ni mezcla. La recurrencia evita perder de forma permanente una parte de probabilidad finita; la mezcla trata la pérdida de correlaciones.

Densidad de una órbita es una propiedad topológica individual. Con soporte total y una base numerable de abiertos, ergodicidad permite deducir densidad para casi todas las órbitas. Sin indicar medida y soporte, esa inferencia puede cambiar. Las simulaciones no sustituyen invariantes, criterios de Fourier y teoremas con hipótesis.