Probabilidad con casos equiprobables

Supongamos un espacio finito con n resultados, n mayor que cero, y que cada uno tiene la misma probabilidad p.

Un suceso con k resultados distintos suma k veces ese peso: P(A) = k/n.

Esa es la regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles, siempre dentro del mismo espacio finito equiprobable. Favorable significa que cumple la condición que preguntamos, no que el resultado sea bueno o deseable.

En la bolsa dibujada hay ocho bolas: tres rojas y cinco azules. Si cada bola individual se elige uniformemente, cada una pesa un octavo. Rojo agrupa tres de ellas y azul cinco. Los colores no son dos casos de igual peso.

Las etiquetas R₁, R₂… permiten distinguir objetos aunque compartan color. No hace falta que estén físicamente escritas: sirven para contar sin confundir una propiedad compartida con la identidad de cada objeto.

En dos lanzamientos justos e independientes de una moneda hay cuatro secuencias ordenadas: CC, CX, XC y XX.

Entonces podemos contar secuencias favorables y dividir entre cuatro.

En dos dados justos e independientes, el resultado elemental es una pareja: número del primero y número del segundo.

Que ambos dados sean justos por separado no basta si sus resultados están ligados.

Las sumas posibles van de dos a doce: once valores distintos. Pero sumar dos solo puede hacerse con (1; 1), mientras que sumar siete puede hacerse con seis parejas. Cada pareja pesa 1/36; cada suma reúne una cantidad distinta de parejas.

En la tabla, cada fila fija el primer dado y cada columna el segundo. La casilla escribe la suma, pero sigue representando una pareja. Contamos casillas resaltadas y dividimos entre treinta y seis; no entre once.

Una lista ordenada, una tabla o un árbol puede hacer visible el recuento. En números de uno a veinte, para contar múltiplos de cuatro escribimos 4, 8, 12, 16, 20. Incluimos veinte porque pertenece al rango y es múltiplo.

Si un problema tiene dos extracciones, comprobamos si se devuelve el objeto y si el orden forma parte del resultado. Con extracción uniforme sin devolución, las parejas ordenadas de objetos distintos tienen igual peso; no se incluye sacar el mismo objeto dos veces.

El suceso complementario Aᶜ reúne lo que no cumple A, dentro del mismo espacio. Como A y Aᶜ reparten todos los resultados sin repetirlos, P(A) = 1 − P(Aᶜ). No se necesita equiprobabilidad para esta identidad; si la hay, podemos contar el complemento.

Una partición más detallada también comprueba cuentas. En dos monedas justas independientes, cero, una y dos caras tienen probabilidades 1/4, 1/2 y 1/4: suman uno. Cada secuencia cae en una sola de esas categorías.

Aleatorio no significa necesariamente uniforme. Una ruleta con sectores de distinto tamaño puede producir resultados impredecibles con pesos diferentes. Necesitamos los pesos del modelo: listar sus etiquetas no los determina.

Si las probabilidades de las caras 1 a 6 son 0,1; 0,1; 0,1; 0,2; 0,2; 0,3, respectivamente, la suma es uno.

Tres valores de seis no implica un medio en ese modelo.

Antes del cociente escribimos qué elementos contamos, por qué pesan igual y qué condición selecciona a los favorables. Después comprobamos que numerador no supera denominador y simplificamos la fracción sin perder el significado.

Fracción, decimal y porcentaje expresan el mismo valor: 3/8 = 0,375 = 37,5 %. Ninguna de esas escrituras promete que en cada bloque de ocho ensayos salgan exactamente tres éxitos. El recuento de posibilidades y el de resultados observados son distintos.