Dos preguntas sobre un mismo resultado pueden cumplirse a la vez. En un dado, seis es par y también mayor que tres. Para combinar condiciones necesitamos saber qué queremos decir con «o», «y» y «no». Lo veremos colocando resultados en regiones y contando una sola vez cada uno, antes de usar la fórmula de la unión.
Si necesitas repasar:
1. Todas las condiciones se refieren al mismo experimento
Una operación entre sucesos necesita un espacio de referencia común. Si lanzamos un dado una vez, A puede ser «par» y B «mayor que tres». Los dos hablan del mismo número observado. No son automáticamente dos lanzamientos distintos.
Representamos Ω con un rectángulo y los sucesos con regiones dentro. Un resultado pertenece a A, a B, a ambos o a ninguno. Estar fuera de los círculos no significa estar fuera del experimento: puede seguir dentro de Ω.
Mismo número, dos condiciones
Sale cuatro en un dado. A es menor que cinco y B es par.
Condición A
Cuatro es menor que cinco.
Condición B
Cuatro es par.
Conclusión
El único número observado cumple ambas.
Ocurren A y B en ese lanzamiento.
No hemos añadido una segunda tirada.
Fuera de dos sucesos
En el dado, A = {1; 2} y B = {5; 6}. Si sale tres, ¿queda fuera de Ω?
En A
No.
En B
Tampoco.
En Ω
Sí: tres es una cara del dado.
Queda fuera de A y B, pero dentro del espacio.
Los sucesos no tienen por qué cubrir todas las posibilidades.
2. La unión significa una condición, la otra o ambas
A ∪ B se lee unión de A y B. Selecciona cualquier resultado que pertenezca a A o a B, incluidos los que pertenecen a los dos. En matemáticas, ese «o» suele ser inclusivo. Si se quiere «uno u otro, pero no ambos», hay que decirlo.
El tres se escribe una vez, aunque pertenezca a ambos. Un conjunto no tiene dos copias de un mismo elemento.
Unir listas
A = {2; 4} y B = {4; 6; 8}. Halla A ∪ B.
Primero A
Dos y cuatro.
Añadimos B
Cuatro ya estaba; se añaden seis y ocho.
Sin duplicar
{2; 4; 6; 8}.
A ∪ B = {2; 4; 6; 8}.
La unión tiene cuatro elementos, no cinco.
El «o» incluye coincidencia
De cien personas, algunas hacen música, otras deporte y otras ambas actividades. ¿La unión incluye a estas últimas?
Condición
Hacer música o deporte.
Quien hace ambas
Cumple cada una y, por tanto, al menos una.
Cuenta
Se incluye una vez.
Sí; quienes hacen ambas pertenecen a la unión.
Excluirlas correspondería a «exactamente una de las dos actividades».
3. La intersección exige que se cumplan las dos condiciones
A ∩ B se lee intersección y corresponde a «A y B». Solo conserva resultados compartidos. En el dibujo, cuatro y seis están en el solapamiento porque son pares y mayores que tres. Dos solo es par; cinco solo es mayor que tres.
La intersección está contenida en cada suceso. Por eso su probabilidad no puede superar ni P(A) ni P(B). Todavía no hay una regla general para multiplicar sus probabilidades sin condiciones: eso requerirá independencia o probabilidades condicionadas.
Compartidos
A = {1; 2; 3} y B = {3; 5}. Halla A ∩ B.
Revisamos A
Uno y dos no están en B.
Coincidencia
Tres sí está en ambos.
Resultado
{3}.
A ∩ B = {3}.
Cinco pertenece solo a B y no entra en la intersección.
Una cota que detecta error
P(A) = 0,3 y P(B) = 0,6. Alguien propone P(A ∩ B) = 0,4.
Inclusión
A ∩ B está dentro de A.
Cota
Su probabilidad no puede superar 0,3.
Comparación
0,4 es mayor que 0,3.
El valor propuesto es imposible.
Compartir resultados solo puede reducir o conservar la probabilidad de cada condición individual.
4. Complementario es «no A»; diferencia es «A pero no B»
El complementario Aᶜ contiene los resultados de Ω que no pertenecen a A.
El espacio importa: el complemento de {1; 2} no es una lista universal de todos los números.
La diferencia A ∖ B conserva los resultados de A que no están en B: equivale a A ∩ Bᶜ. Es distinta de B ∖ A, porque el orden decide qué conjunto usamos como punto de partida.
Complemento con espacio declarado
Ω = {1; 2; 3; 4; 5}; A = {1; 3; 5}.
Dentro del espacio
Solo consideramos esos cinco elementos.
Quitamos A
Se retiran uno, tres y cinco.
Restantes
Dos y cuatro.
Aᶜ = {2; 4}.
Seis no entra porque nunca perteneció a Ω.
La diferencia tiene orden
A = {1; 2; 3}; B = {3; 4}. Compara A ∖ B y B ∖ A.
Desde A
Quitamos tres: quedan uno y dos.
Desde B
Quitamos tres: queda cuatro.
Resultados
{1; 2} y {4}.
A ∖ B = {1; 2}; B ∖ A = {4}.
No se intercambia el orden sin cambiar lo que se pide.
5. La fórmula de la unión devuelve una copia del solapamiento
Sumar P(A) + P(B) cuenta dos veces lo que pertenece a ambos. Para que en la unión aparezca una sola vez, restamos una copia de P(A ∩ B).
No requiere independencia.
Podemos verlo con personas: cuarenta hacen música, treinta deporte y diez ambas. La suma setenta incluye a esas diez dos veces; restar diez deja sesenta personas distintas con al menos una actividad.
Cuentas de actividades
De cien personas, 40 hacen música, 30 deporte y 10 ambas. ¿Cuántas hacen al menos una?
Sumamos listas
40 + 30 = 70, con las diez compartidas duplicadas.Corregimos
70 − 10 = 60.Probabilidad en elección uniforme
60/100 = 0,6.
Sesenta personas; probabilidad 0,6.
Solo música treinta, ambas diez y solo deporte veinte: suman sesenta.
Directamente con probabilidades
P(A) = 0,45; P(B) = 0,35; P(A ∩ B) = 0,15.
Suma inicial
0,45 + 0,35 = 0,80.Restamos doble cuenta
0,80 − 0,15 = 0,65.Fuera de ambos
1 − 0,65 = 0,35.
P(A ∪ B) = 0,65.
La unión supera a cada suceso y no supera uno.
6. Incompatibles significa no coincidir; independientes significa no cambiar probabilidades
A y B son incompatibles si A ∩ B = ∅: no pueden ocurrir juntos en el experimento.
La independencia es otra propiedad: P(A ∩ B) = P(A)P(B); cuando condicionamos a un suceso de probabilidad positiva, conocerlo no cambia la probabilidad del otro.
Si A y B son incompatibles y ambos tienen probabilidad positiva, no son independientes: cero no puede ser igual al producto positivo. Solo hay casos límite de probabilidad cero donde ambas propiedades pueden coexistir; no decimos que son opuestas por definición.
Par e impar
En un dado justo, A es par y B impar. ¿Son incompatibles e independientes?
Coincidencia
No hay números a la vez pares e impares: intersección vacía.
Probabilidades
Cada suceso vale 1/2.
Prueba de independencia
P(A ∩ B) = 0, pero (1/2)(1/2) = 1/4.
Son incompatibles y no independientes.
Saber que salió par excluye por completo que saliera impar.
Independencia con coincidencia posible
Dos lanzamientos justos independientes: A es cara en el primero y B cara en el segundo.
Probabilidades
P(A) = P(B) = 1/2.Intersección
CC: 1/4.
Comparamos
1/4 = (1/2)(1/2).
Son independientes y compatibles.
La secuencia CC hace que ocurran ambos.
7. Negar «ambos» no significa negar «cualquiera»
No pertenecer a A ∪ B exige estar fuera de los dos: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ. En cambio, no pertenecer a A ∩ B solo exige que falle al menos una condición: (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ. Son las leyes de De Morgan.
En palabras: «no hace ninguna actividad» no es lo mismo que «no hace las dos». Quien solo hace música no hace las dos, pero sí hace una. Probar ese caso ayuda más que memorizar el intercambio de signos sin significado.
Ninguna actividad
A es música y B deporte. Traduce «no hace música ni deporte».
Qué debe fallar
A y B.
Intersección de negaciones
Aᶜ ∩ Bᶜ.
Forma equivalente
(A ∪ B)ᶜ.
Es el complementario de la unión.
Quien hace solo música no cumple la frase.
No ambas
Con los mismos sucesos, traduce «no hace ambas actividades».
Qué se excluye
La región donde ocurren A y B juntos.
Qué se permite
Solo A, solo B o ninguna.
Conjunto
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ.
Es el complementario de la intersección.
A diferencia de «ninguna», permite que haga una sola.
8. Revisamos las cuatro regiones antes de aceptar el resultado
Las regiones solo A, ambas, solo B y ninguna forman una partición de Ω. Sus probabilidades deben ser no negativas y sumar uno. Podemos obtenerlas restando la parte compartida a cada suceso y usando el complemento de la unión para la parte exterior.
Esta comprobación permite detectar datos incompatibles aunque cada número aislado parezca válido. También recordamos que multiplicar probabilidades es una regla con condiciones, mientras que corregir el doble conteo en la unión sirve para cualquier par de sucesos.
Reconstruir regiones
P(A) = 0,5; P(B) = 0,4; P(A ∩ B) = 0,2.
Solo A
0,5 − 0,2 = 0,3.Solo B
0,4 − 0,2 = 0,2.Ninguna
1 − (0,3 + 0,2 + 0,2) = 0,3.
Regiones: 0,3; 0,2; 0,2; 0,3.
Todas son no negativas y suman uno.
Una unión que supera uno
Se propone P(A) = 0,8, P(B) = 0,7 e intersección 0,1.
Aplicamos unión
0,8 + 0,7 − 0,1 = 1,4.Imposibilidad
Una unión no puede tener probabilidad mayor que uno.
Dónde se ve
La región ninguna tendría probabilidad −0,4.
Los tres datos no forman un modelo coherente.
No se arregla recortando la respuesta a uno: hay que revisar los datos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Contar sin duplicar
En un dado justo, A=par y B=mayor que 3. Halla P(A∪B).
Listamos
A = {2; 4; 6}; B = {4; 5; 6}.Compartidos
A ∩ B = {4; 6}.Unión sin repetir
A ∪ B = {2; 4; 5; 6}: cuatro caras.Probabilidad
El dado es justo: 4/6 = 2/3.Comprobación por fórmula
3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6.
2/3.
3/6+3/6−2/6=4/6.
EJEMPLO RESUELTO 2
Complementario
La probabilidad de lluvia es 0,35. Halla P(no lluvia).
Definimos el complemento
Lluvia y no lluvia se refieren al mismo lugar, periodo y criterio del modelo.
Total
Sus probabilidades suman uno.
Restamos
P(no lluvia) = 1 − 0,35 = 0,65.Comprobamos
0,35 + 0,65 = 1.
0,65.
0,35+0,65=1.
Los símbolos que hemos usado
- Ω
- Espacio muestral común de los sucesos considerados.
- A∪B
- Unión: ocurre A, B o ambos.
- A∩B
- Intersección: ocurren A y B en el mismo resultado.
- Aᶜ
- Complementario de A: resultados de Ω que no pertenecen a A.
- A\B
- Diferencia: ocurre A y no B; equivale a A∩Bᶜ.
- ∅
- Conjunto vacío, sin resultados.
- Incompatibles
- Sucesos cuya intersección es vacía.
- Independientes
- Sucesos que cumplen P(A∩B)=P(A)P(B), sin que uno altere la probabilidad del otro.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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