Recuento sistemático de posibilidades

Si elegimos capitán y ayudante, Ana como capitana y Bruno como ayudante no es la misma asignación que Bruno como capitán y Ana como ayudante. Los puestos distinguen el orden. Si solo elegimos un equipo de dos, {Ana; Bruno} y {Bruno; Ana} son el mismo grupo.

También preguntamos si se puede repetir un elemento y cuántas posiciones se llenan. Una clave puede repetir dígitos; una persona no puede ocupar dos cargos si el enunciado lo prohíbe. Estas condiciones cambian la cuenta.

Si para una elección podemos escoger una de cuatro tarjetas rojas o una de tres azules, hay siete tarjetas posibles. Sumamos porque elegimos una tarjeta de uno u otro grupo, no una pareja con una de cada color. Los grupos no comparten objetos.

Cuando las listas sí comparten resultados, sumar sus tamaños repite el solapamiento. Antes de usar el principio de suma separamos casos que sean distintos entre sí o corregimos la duplicación.

Si un menú lleva un primero y un segundo, cada primero se combina con cada segundo permitido. Con dos primeros y tres segundos hay tres menús por cada primero: 3 + 3 = 2 · 3 = 6. Cada casilla del dibujo es un resultado completo.

El producto general cuenta etapas con m₁, m₂… opciones por continuación: multiplicamos esas cantidades si son constantes en cada etapa relevante. No es una afirmación sobre probabilidades. Si las cantidades dependen de la rama, contamos por casos y sumamos.

Un recuento pequeño se puede verificar escribiendo resultados completos. Con letras A, B, C y dos posiciones sin repetir, AB, AC, BA, BC, CA y CB forman toda la lista. Para cada primera letra hay dos continuaciones, por eso 3 · 2 = 6.

El árbol fija una elección en cada nivel; la tabla cruza dos etapas; la lista muestra cada resultado final. La representación se elige para no perder casos ni contar dos veces el mismo objeto.

Con diez dígitos, una clave de tres posiciones con repetición y cero inicial permitido tiene 10 · 10 · 10 opciones. Si se pide un número de tres cifras, la primera no puede ser cero: quedan nueve opciones para ella.

Sin repetición, cada elección elimina un símbolo para las siguientes posiciones. A veces conviene empezar por la posición más restringida y después contar las continuaciones. No multiplicamos primero un total genérico y quitamos casos sin saber cuáles son.

Para ordenar cuatro libros distintos, el primer puesto admite cuatro, el segundo tres, el tercero dos y el último uno.

Para n objetos distintos, n! cuenta sus ordenaciones completas.

Si solo ocupamos k puestos sin repetir, el producto termina después de k factores: n(n − 1)…(n − k + 1). No hace falta ordenar los objetos que quedan fuera. Se define 0! = 1, coherente con que hay una única lista vacía.

Elegir dos personas de cuatro sin cargos da 4 · 3 = 12 listas ordenadas. Pero cada grupo aparece dos veces: AB y BA representan el mismo. Dividir entre 2! deja seis grupos. La división corrige exactamente esa repetición.

En general, cada grupo de k objetos distintos aparece k! veces entre las selecciones ordenadas. Por eso elegir k de n, sin repetición y sin orden, da C(n,k) = n!/[k!(n − k)!], para enteros 0 ≤ k ≤ n. No dividimos por k solo: con tres objetos hay seis órdenes internos, no tres.

Una cuenta debe responder al resultado que se pidió. Volvemos a las preguntas: ¿alternativas o etapas?, ¿importa el orden?, ¿se repite?, ¿hay puestos restringidos? Explicamos cada factor y, si dividimos, qué repetición corrige el divisor.

Los recuentos son enteros no negativos. Para casos pequeños comprobamos con una lista. En probabilidad, contar resultados solo permite dividir favorables entre posibles si esos resultados son equiprobables; la combinatoria por sí sola no demuestra esa hipótesis.