Árboles y experimentos compuestos

El punto de partida representa que aún no ha ocurrido nada. Las primeras ramas muestran las posibilidades de la primera etapa. Desde cada una dibujamos las continuaciones de la segunda. Un camino completo es una secuencia, como roja y después azul, abreviada RA.

RA y AR terminan con una bola de cada color, pero tienen historias diferentes. Mantenerlas separadas permite asignarles sus probabilidades correctas y reunirlas después si la pregunta no distingue el orden.

Si en una bolsa hay tres rojas y dos azules, una primera selección uniforme da P(R) = 3/5 y P(A) = 2/5. Esas dos ramas suman uno: cubren todos los colores posibles sin repetirse.

En un punto posterior los números son probabilidades dado el camino ya recorrido. Las ramas que salen de un nodo alcanzable también suman uno, pero no tienen por qué repetir el reparto inicial. Dos colores posibles no obligan a poner un medio en cada rama.

La probabilidad de «primero R y después R» es la probabilidad de llegar a la primera R por la probabilidad de continuar a R una vez allí.

La barra vertical significa dado que.

No estamos multiplicando dos probabilidades marginales sin justificación. La segunda pertenece al nodo ya alcanzado. En la bolsa de tres rojas y dos azules sin devolver, después de una roja quedan dos rojas entre cuatro: el camino RR vale (3/5)(2/4).

Para obtener exactamente una roja en dos extracciones sirven RA y AR. Son caminos incompatibles: en una realización no ocurre a la vez que el primer color sea rojo y azul. Por eso sumamos sus probabilidades completas.

No sumamos ramas sueltas de niveles distintos ni caminos que representen parcialmente la misma historia. Primero marcamos hojas completas que cumplen la condición y después calculamos cada camino.

Partimos de tres rojas y dos azules. Si la primera es roja, quedan dos rojas y dos azules: cuatro en total. Si es azul, quedan tres rojas y una azul: también cuatro, pero con otra composición. El denominador baja en ambos casos; el numerador cambia según lo que se quitó.

El dibujo marca probabilidades sobre las ramas y probabilidades de caminos a la derecha. RA y AR valen aquí lo mismo, pero esa coincidencia no autoriza a ignorar sus estados intermedios.

Con reposición, la bola vuelve a la bolsa antes de la siguiente extracción. Si se mezcla y cada nueva elección vuelve a ser uniforme sin depender de la historia, los repartos siguientes son siempre tres quintos y dos quintos. En ese modelo las extracciones son independientes.

La palabra devolver por sí sola describe la composición, no todos los detalles del mecanismo. Un procedimiento que eligiera deliberadamente según el color anterior podría introducir dependencia. Indicamos el modelo de nueva selección, en vez de confundir composición restaurada con una prueba física automática.

Al menos una roja se puede calcular sumando RR, RA y AR, o restando al total el único camino sin rojas: AA. El complementario suele ahorrar trabajo cuando la condición reúne muchas hojas.

Con selecciones uniformes sin devolución también podemos contar objetos. De cinco bolas, escoger dos sin orden da diez parejas; de las tres rojas, escoger dos da tres. Por eso dos rojas tiene probabilidad 3/10. La comprobación necesita que esas parejas de objetos sean equiprobables.

Revisamos cada nodo alcanzable: las ramas salientes son no negativas y suman uno. Después multiplicamos caminos y comprobamos que las hojas completas sumen uno. Si una condición pide varios órdenes, comprobamos que todos estén incluidos.

Una fracción del segundo nivel debe indicar la historia a la que corresponde. No mezclamos una probabilidad condicionada de una rama con la probabilidad conjunta de una hoja. Estas comprobaciones dan significado a la regla «multiplicar caminos y sumar hojas».