Exponentes de Lyapunov

Primero se aproxima una perturbación pequeña con la derivada; después se pregunta cómo crece esa parte lineal cuando n aumenta. Intercambiar ambos límites sin justificación puede dar una interpretación incorrecta.

Si ||DₓTⁿv|| crece como , su logaritmo crece aproximadamente como λn. Positivo significa amplificación exponencial infinitesimal, negativo contracción y cero ausencia de una tasa exponencial no nula. En un espacio compacto la distancia entre dos puntos no puede crecer indefinidamente sin límite.

Para v≠0 definimos . Si el límite existe, es λ(x,v). El logaritmo es natural. Si no existe, se indica si se usa limsup o liminf; una tasa finita no es automáticamente un límite demostrado.

La tasa máxima se relaciona con log||DₓTⁿ||/n cuando ese límite existe. Una dirección particular puede crecer menos. Las normas de matrices cumplen ||AB||≤||A||||B||; no podemos reemplazar sin más el logaritmo de la norma del producto por la suma de logaritmos de normas de cada paso.

La derivada iterada es DT(Tⁿ⁻¹x)···DT(Tx)DT(x). El orden importa: primero actúa la matriz de la derecha. En dimensión uno, si las derivadas no se anulan, el logaritmo del módulo convierte ese producto escalar en la suma de log|T′(Tʲx)|.

Por tanto λₙ es el promedio de esos logaritmos. Con medida invariante ergódica y log|T′| integrable, Birkhoff da para casi todo x el límite ∫log|T′|dμ. Una derivada cero puede producir −∞ con la convención log0=−∞; no se incluye sin más en un teorema invertible.

Para una matriz diagonal invertible, cada eje tiene exponente log|a|. Un vector con componentes en varios ejes tiene la tasa mayor entre los ejes que realmente aparecen. Si la matriz es constante pero no diagonalizable, los bloques de Jordan añaden factores nʲ.

Como log(nʲ)/n=j log n/n→0, los exponentes siguen siendo logaritmos de módulos de autovalores, con multiplicidad algebraica. Los valores singulares de una sola iteración describen deformación instantánea y pueden ser muy diferentes, sobre todo en matrices no normales.

Sea T invertible y bimedible en un espacio de probabilidad estándar, preservando μ, y A(x)∈GL(d,R) medible. Pedimos integrabilidad de log⁺||A|| y log⁺||A⁻¹||. Oseledets proporciona, en un conjunto invariante de medida total, exponentes reales y un desdoblamiento medible E₁(x)⊕···⊕Eₖ(x).

A(x) lleva Eᵢ(x) a Eᵢ(Tx) y los vectores no nulos de cada subespacio tienen su tasa λᵢ. Si la base es ergódica, las tasas y multiplicidades son constantes casi en todas partes. No se afirma continuidad de los subespacios, cotas uniformes ni existencia en absolutamente cada punto.

Para un difeomorfismo C¹ de una variedad compacta, las derivadas directa e inversa están acotadas, de modo que las condiciones logarítmicas valen para cualquier probabilidad invariante. En espacios no compactos se verifican, aunque cada matriz individual sea finita.

El módulo del determinante mide cambio de volumen. Para productos, log|det A⁽ⁿ⁾| es la suma de log|det A| a lo largo de la órbita. Bajo las hipótesis integrables y ergódicas, la suma de exponentes con multiplicidad es ∫log|det A|dμ.

Preservar volumen de una métrica fija da suma cero, no cada exponente cero. En un flujo suave de divergencia cero, el jacobiano del mapa temporal es uno mientras el flujo exista en el marco considerado. La orientación puede invertirse en un mapa: por eso usamos módulo del determinante.

Si c||v||≤||v||′≤C||v|| con constantes positivas uniformes a lo largo de la órbita, la diferencia entre tasas queda acotada por log(C/c)/n y tiende a cero. Un cambio suave de coordenadas con derivada e inversa uniformemente acotadas también preserva el exponente. En una variedad compacta, métricas riemannianas suaves son comparables de ese modo.

Sin uniformidad en un espacio no compacto puede cambiar.

Con y=eˣ, el mapa se transforma en S(y)=ey y su tasa es uno; el cambio de coordenadas crece a lo largo de la órbita.

Un paso de Tᵐ equivale a m pasos de T, por lo que la tasa por nueva iteración es mλ. En un flujo se divide por tiempo físico; si se muestrea cada h unidades, la tasa por muestra es hλ.

La norma crece sin cota pero su tasa logarítmica tiende a cero. Un exponente cero no descarta crecimiento polinómico ni decide estabilidad.

T(x)=3x en R tiene exponente positivo y órbitas muy simples que se alejan; incluso una medida puntual en un punto fijo repulsivo puede registrar una tasa positiva. Si todos los exponentes de una medida diferenciable son no nulos, se habla de medida hiperbólica. La teoría de Pesin necesita regularidad adicional como C¹⁺ᵅ y da variedades en puntos típicos, con tamaños y tasas que pueden depender del punto.

Para estimar la tasa máxima, propagamos un vector tangente, anotamos el logaritmo de su norma y lo normalizamos antes del siguiente paso. Sumar esos logaritmos conserva el crecimiento total sin formar números enormes. Un vector en una dirección excepcional puede medir una tasa menor.

Para varias tasas se propaga un marco y se repite QR, acumulando logaritmos de las diagonales de R con una convención consistente. Sin ortogonalizar, los vectores tienden a alinearse con la dirección dominante. Transitorios, precisión y tiempo total afectan al cálculo: se necesitan comprobaciones de convergencia y no se demuestra un límite solo con una tabla larga.