Dinámica hiperbólica y variedades invariantes

Dado f, la órbita de x es x,f(x),f²(x),…; f² significa aplicar f dos veces, no elevar su valor al cuadrado.

Cerca de él, Df(p) aproxima cómo cambia una perturbación pequeña.

La palabra estable necesita contexto. Una dirección estable puede acercarse a p mientras otra se aleja. Si ambas existen hablamos de una silla, no de un punto que atraiga todo su entorno. La hiperbólicidad estudia tasas tangentes; no necesita una medida de probabilidad ni implica por sí sola caos.

Para un difeomorfismo, p fijo es hiperbólico si ningún autovalor complejo de A=Df(p) tiene módulo uno. A es invertible, así que tampoco hay autovalor cero. Los espacios propios generalizados con módulo menor que uno forman Eˢ; los de módulo mayor, Eᵘ. Los pares complejos se agrupan como subespacios reales.

No es obligatorio diagonalizar. Un bloque de Jordan añade factores polinómicos en n, pero si |μ|<λ<1, esos factores por |μ|ⁿ quedan acotados por Cλⁿ. Sobre Eᵘ se aplica la contracción al tiempo inverso. Las constantes y la norma son parte de las estimaciones.

La segunda coordenada siempre tiende a cero; la primera solo lo hace si x=0.

En general, descomponer v=vˢ+vᵘ permite la misma conclusión para un automorfismo lineal hiperbólico. La componente estable se contrae; una inestable no nula no puede converger al origen. Un sumidero tiene Eᵘ={0}, una fuente Eˢ={0} y una silla ambas dimensiones positivas.

Si f es difeomorfismo Cʳ, r≥1, y p es fijo hiperbólico, el teorema de la variedad estable produce discos Cʳ locales Wˢ local y Wᵘ local. Pasan por p, son tangentes allí a Eˢ y Eᵘ, y tienen sus dimensiones. Las órbitas correspondientes convergen exponencialmente.

Se eligen discos con f(Wˢ local)⊂Wˢ local y f⁻¹(Wᵘ local)⊂Wᵘ local. La caracterización local exige permanecer en una vecindad pequeña durante todo el tiempo pertinente. En coordenadas adaptadas, una gráfica estable tiene valor y derivada cero en p, pero puede tener términos cuadráticos y superiores.

Cerca de p, escribimos f(s,u)=(Aˢs,Aᵘu)+R(s,u), con derivada de R pequeña en una vecindad reducida. Para construir la variedad inestable se toman gráficas s=h(u). La expansión de la coordenada u permite reparametrizar la imagen como una nueva gráfica.

La contracción relativa hace que esa operación sea contractiva en un espacio adecuado de gráficas. Su punto fijo es invariante. Para la estable se usa f⁻¹. Esta es la idea de Hadamard–Perron; una nube de puntos que parece una curva no sustituye las estimaciones que permiten la construcción.

Un punto que converge acaba entrando en el disco estable local y permanece allí.

Por eso .

De forma análoga, Wᵘ se extiende con imágenes hacia delante del disco inestable local.

Los discos locales son embebidos; las variedades globales son inyectivamente inmersas y pueden acumularse de manera complicada. No tienen por qué ser una gráfica cerrada global. La invariancia global f(Wˢ)=Wˢ se diferencia de la inclusión hacia delante de un disco local.

Sobre un compacto invariante Λ se pide una descomposición continua Eˢₓ⊕Eᵘₓ preservada por Df y constantes comunes C>0, 0<λ<1 para contraer Dfⁿ en Eˢ y Df⁻ⁿ en Eᵘ. La uniformidad respecto a x es esencial. Signos observados punto a punto no proporcionan esas constantes comunes.

Las hojas estables siguen la órbita base: d(fⁿy,fⁿx) decrece exponencialmente, aunque x no sea fijo. Si Λ es toda una variedad compacta, f es de Anosov. Las hojas son suaves a lo largo de ellas; la dependencia transversal puede ser menos regular. La hiperbólicidad uniforme persiste bajo perturbaciones C¹ pequeñas.

Para un equilibrio de x′=X(x), se pide que DX(p) no tenga autovalores con parte real cero. La derivada del flujo es y el módulo de cada factor es e elevado a t Re μ. De ahí parte real para un campo y módulo para un mapa.

En un flujo no estacionario aparece la dirección del propio vector X. Un flujo de Anosov sobre una variedad compacta tiene Eˢ⊕RX⊕Eᵘ y X no nulo. Para una órbita periódica se usa el mapa de retorno transversal: así se excluye la dirección del flujo, cuyo multiplicador de un periodo es uno.

En una dimensión, f₋(x)=x−x³ y f₊(x)=x+x³ tienen la misma derivada uno en cero y son difeomorfismos locales cerca de cero. El primer mapa atrae puntos suficientemente pequeños; el segundo los repele. La parte lineal no decide entre ellos porque falta hiperbólicidad.

Hartman–Grobman sí da una conjugación topológica local con la parte lineal cerca de un punto fijo hiperbólico. En general el cambio es un homeomorfismo, no una transformación diferenciable que preserve longitudes y tasas exactas. La existencia de una variedad estable tampoco prueba ergodicidad o mezcla.

DH(0)=I, por tanto DF(0)=A: su tangente estable sigue siendo vertical.

Como Fⁿ=H∘Aⁿ∘H⁻¹, el conjunto estable global de F es exactamente esa parábola. Como ejemplo compacto, B con filas (2,1),(1,1) tiene determinante uno y define un automorfismo del toro. Sus autovalores (3±√5)/2 dan direcciones uniformes estable e inestable: es de Anosov.