En el plano comparamos flechas trasladándolas. En una superficie, cada flecha tangente vive en un plano distinto y necesitamos una regla de comparación. Esa regla es una conexión. Veremos cómo deriva componentes y bases, cómo produce transporte paralelo y por qué unas componentes variables pueden describir el mismo vector paralelo.
Si necesitas repasar:
1. Antes de restar vectores hay que saber en qué espacio viven
Un vector en p pertenece a T_pM y otro en q a T_qM. En una variedad no hay una resta canónica entre ellos. Una carta ofrece bases locales, pero esas bases cambian con el punto. La conexión incorpora ese cambio al derivar.
En Rⁿ con sus coordenadas cartesianas sí hay una identificación global habitual. Para una superficie incluida en R³, la derivada ambiente puede salir del tangente; su proyección tangente produce la conexión inducida. Una métrica da longitudes en cada fibra, pero no define por sí sola una resta de fibras distintas.
Los tangentes del círculo no son la misma recta
Círculo unidad, p=(1,0) y q=(0,1).
En p
La condición v·p=0 exige v_x=0: el tangente es vertical.En q
v·q=0 exige v_y=0: el tangente es horizontal.Comparar
Trasladar una flecha vertical de p a q en el plano ambiente no la convierte en tangente de q.
Hace falta especificar una regla de comparación a lo largo de un camino.
La inclusión en el plano permite restas ambientes, pero no una identificación que preserve automáticamente los tangentes.
Una curva puede cambiar mientras un vector paralelo sigue fijo
Plano euclídeo, γ(t)=(t, t²), V=(2,−1).
Espacios
Las coordenadas cartesianas identifican todos los tangentes con R².
Derivada
Las dos componentes de V son constantes y su derivada es cero.
Conclusión
V es paralelo a lo largo de γ; no se exige que apunte en la dirección de la velocidad γ′=(1,2t).
Paralelo al transportar no significa tangente a la trayectoria dentro del plano.
V es un vector tangente del plano en cada punto, distinto del vector velocidad de la curva.
2. Una conexión deriva el campo y obedece una regla de producto
En X es lineal sobre funciones suaves; en Y aparece una derivada. Por eso no es un tensor en su segundo argumento.
La diferencia de dos conexiones sí es un tensor: al restar ∇_X(fY)−∇′_X(fY), los términos X(f)Y se cancelan. Esta distinción explica por qué los coeficientes de una conexión no se pueden tratar como componentes tensoriales.
Un campo que vale cero puede tener derivada no nula
En la recta, conexión cartesiana y Y=x∂ₓ.
Valor
Y(0)=0.Derivar
∇_(∂ₓ)(x∂ₓ)=1·∂ₓ+x·0=∂ₓ.En cero
La derivada sigue siendo ∂ₓ≠0.Depende de cómo varía Y cerca, no solo de su valor.
La conexión no es lineal sobre funciones en Y.
Si lo fuera, x∇_(∂ₓ)∂ₓ se anularía y perdería la derivada de x.
Restar dos reglas elimina la derivada del escalar
En R, ∇_(∂ₓ)∂ₓ=0 y ∇′_(∂ₓ)∂ₓ=c∂ₓ.
Campo
Para Y=f∂ₓ, las derivadas son f′∂ₓ y (f′+cf)∂ₓ.Restar
(∇′−∇)_(∂ₓ)(f∂ₓ)=cf∂ₓ.Dirección
Con X=a∂ₓ, la diferencia pasa a acf∂ₓ; es lineal en ambos valores.
La diferencia es tensorial aunque cada conexión no lo sea.
El término f′ desaparece exactamente al restar.
3. La fórmula local deriva números y también la base
.El primer término deriva las componentes; el segundo recoge el cambio de la base. Los Γ reciben derivadas segundas al cambiar de carta. Que sean cero en cartesianas no impide que sean no nulos en polares del mismo plano euclídeo.
Una base que gira aporta una derivada aunque su coeficiente sea uno
En polares, ∂ᵣ=(cosθ, sinθ).
Derivar en θ
∂θ de esa expresión es (−sinθ, cosθ).
Comparar bases
∂θ=(−r sinθ, r cosθ), así que la derivada es (1/r)∂θ.Símbolo
∇_(∂θ)∂ᵣ=(1/r)∂θ y Γ^θ_(θr)=1/r.
La derivada de un vector base no tiene por qué ser cero.
La carta requiere r>0; no se divide por r en el origen.
La segunda derivada de la posición apunta radialmente
∂θ=(−r sinθ, r cosθ).
Derivar en θ
Se obtiene (−r cosθ,−r sinθ).
Reescribir
Es −r∂ᵣ.
Símbolo
Γʳ_(θθ)=−r.El signo refleja el giro de la base angular.
Un coeficiente no nulo puede venir solo de las coordenadas.
La curvatura del plano sigue siendo cero.
4. Levi–Civita es la conexión compatible con la métrica y sin torsión
Una métrica suave positiva determina una única conexión con ambas propiedades: el teorema de Levi–Civita.
En una base coordenada, 
, donde g^{kℓ} es la inversa de gᵢⱼ. La simetría en i, j expresa torsión cero en esa base, cuyos campos conmutan.
Una métrica constante simplifica todos los términos
Plano euclídeo cartesiano, g=dx²+dy².
Coeficientes
La matriz de g es la identidad constante.
Derivadas
Todas sus derivadas parciales son cero.
Conexión
La fórmula da todos los Γ iguales a cero.
La derivada covariante se reduce a derivar componentes en esta carta.
Una conexión métrica arbitraria con torsión podría ser distinta.
En la recta también puede haber una base de longitud variable
g=e^{2x}dx².
Matriz e inversa
g₁₁=e^{2x}, g¹¹=e^{-2x}.Derivar
∂ₓg₁₁=2e^{2x}.Fórmula
Γ¹₁₁=(1/2)e^{-2x}·2e^{2x}=1.
La conexión compensa que ∂ₓ tiene longitud eˣ.
La métrica es positiva para todo x.
5. Ser paralelo se convierte en una ecuación diferencial lineal
A lo largo de γ(t), un campo V(t)=Vʲ(t)∂ⱼ tiene 
.
No hace falta extender V a un abierto.
Para una curva suave sobre un intervalo compacto, esta es una ecuación lineal V′=−A(t)V con coeficientes suaves. Cada vector inicial determina una solución única en todo el intervalo; las soluciones de distintas cartas se pegan por unicidad. Una curva a trozos suave se resuelve por segmentos.
Resolver la ecuación cartesiana
γ(t)=(t, t²), V(0)=(2,−1).
Coeficientes
Todos los Γ cartesianos son cero.
Ecuación
(V¹)′=(V²)′=0.Dato inicial
La única solución es V(t)=(2,−1).
La curva no añade términos de corrección en esta base fija.
No se está resolviendo la ecuación de la velocidad de γ.
Resolver cuando el símbolo vale uno
En la recta con g=e^{2x}dx², γ(t)=t y V(0)=C∂ₓ.
Ecuación
V′+V=0 para la componente.Integrar
V(t)=Ce^{-t}∂ₓ.Norma
g(V, V)=e^{2t}C²e^{-2t}=C², constante.
La componente cambia para conservar la longitud geométrica.
Confundir componente constante con paralelo habría dado una norma creciente.
6. Invertir el camino invierte el transporte; la métrica decide si conserva longitudes
El transporte P_γ entre las fibras de los extremos es lineal por la ecuación. Recorrer el camino al revés produce su inversa y concatenar compone los mapas. Una reparametrización creciente regular no cambia el transporte entre extremos.
Si ambos son paralelos, el producto y las normas se conservan. Una conexión que no sea compatible puede tener transporte perfectamente definido y cambiar las longitudes.
Componer y deshacer en la recta de métrica variable
Con g=e^{2x}dx², transportar de x=a a x=b.
Mapa
La componente se multiplica por e^{a−b}.
Otro tramo
De b a c se multiplica por e^{b−c}; el producto es e^{a−c}.
Volver
De b a a se multiplica por e^{b−a}, inverso del primer factor.
Las componentes cambian, pero las fibras se identifican por isometrías.
La norma en a incluye eᵃ y la de b incluye eᵇ.
Una conexión no métrica puede encoger un vector paralelo
Métrica usual dx² y conexión ∇_(∂ₓ)∂ₓ=∂ₓ.
Paralelo
Sobre γ(t)=t, la componente vuelve a satisfacer V′+V=0.Solución
Con componente inicial uno, V=e^{-t}∂ₓ.Norma usual
Ahora ||V||=e^{-t}, no constante: esta conexión no es compatible con dx².
Conservar norma no se deduce de la palabra paralelo sin mencionar la conexión.
El ejemplo usa una métrica distinta de la del apartado anterior.
7. La métrica polar permite calcular todos los símbolos sin adivinar
La matriz es diag(1, r²) y su inversa diag(1, r⁻²).
La fórmula de Levi–Civita produce Γʳ_(θθ)=−r y Γ^θ_(rθ)=Γ^θ_(θr)=1/r; todos los demás son cero. Así 
y 
.
Calcular un símbolo angular con la inversa de la métrica
Γ^θ_(rθ).
Seleccionar término
El único que contribuye es (1/2)g^{θθ}∂ᵣgθθ.
Sustituir
(1/2)r⁻²·2r=1/r.Evaluar
En r=2 vale 1/2 y en r=5 vale 1/5.
La inversa de la métrica aporta la potencia r⁻².
No se reemplaza g^{θθ} por gθθ.
Símbolos no nulos pueden dar curvatura cero
Calcular R(∂ᵣ,∂θ)∂θ en el plano polar.
Primer orden
∇ᵣ(∇θ∂θ)=∇ᵣ(−r∂ᵣ)=−∂ᵣ.Segundo
∇θ(∇ᵣ∂θ)=∇θ((1/r)∂θ)=(1/r)(−r∂ᵣ)=−∂ᵣ.Restar
Los campos coordenados conmutan y los dos resultados se cancelan. Este componente de R es cero, coherente con el plano.
Los Γ aislados no son la curvatura.
La cancelación incluye la derivada del coeficiente −r.
8. La base gira: un vector fijo puede tener componentes trigonométricas
Para el vector cartesiano (a, b), las componentes en la base coordenada polar son Vʳ=a cosθ+b sinθ y Vθ=(−a sinθ+b cosθ)/r. La componente angular no es la longitud en la dirección angular unitaria: ∂θ tiene norma r.
Sustituir esas componentes en D_tV cancela las derivadas de r y θ con los símbolos. Es la misma geometría descrita en otra carta. En r=0 la carta falla, pero el plano y la conexión siguen siendo suaves.
Comprobar las dos ecuaciones sobre un círculo de radio dos
γ(t)=(r=2, θ=t), vector cartesiano fijo (1,0).
Componentes
Vʳ=cos t, Vθ=−sin t/2.Radial
(Vʳ)′−2Vθ=−sin t+sin t=0.Angular
(Vθ)′+Vʳ/2=−cos t/2+cos t/2=0.La norma es cos²t+4sin²t/4=1.
Las componentes varían y el vector es paralelo.
Se usó la base coordenada, de modo que la métrica angular lleva el factor cuatro.
Un vector radial que gira con el punto no es paralelo sobre el círculo
V=∂ᵣ sobre r=2, θ=t.
Componentes
Vʳ=1 y Vθ=0, constantes.Ecuación angular
(D_tV)^θ=1/2≠0.Geometría
La flecha radial rota al recorrer el círculo; su derivada cartesiana tampoco es cero.
Componentes constantes no garantizan paralelismo en una base móvil.
Sobre un rayo con θ constante, ∂ᵣ sí es paralelo.
9. Un lazo puede devolver un vector con otra dirección
Transportar por caminos diferentes puede producir mapas distintos. Sobre un lazo, P_γ es un automorfismo de la fibra inicial; esos mapas forman la holonomía. La curvatura registra la desviación infinitesimal alrededor de pequeños lazos.
Una conexión plana tiene transporte independiente localmente en regiones simplemente conexas; la topología puede impedir independencia global. Por último, una geodésica cumple D_tγ′=0: su propio vector velocidad es paralelo, una condición distinta de transportar un vector cualquiera sobre una curva.
Un triángulo esférico gira un vector noventa grados
Esfera unidad: N=(0,0,1), A=(1,0,0), B=(0,1,0), tramos de círculos máximos N→A→B→N.
Primer tramo
Partir de eₓ en N, tangente al meridiano; se transporta hasta −e_z en A.
Ecuador
−e_z es constante y tangente a lo largo de A→B, por lo que llega igual a B.
Último meridiano
En B es la velocidad negativa del tramo B→N; llega a e_y en N.La norma se conservó, pero eₓ volvió como e_y.
Volver al mismo punto no obliga a recuperar el mismo vector.
En cada tramo se verificó paralelismo por velocidad geodésica o vector ambiente constante tangente.
Curvatura cero no elimina toda holonomía global
Fibrado real de línea de Möbius sobre S¹, con pegado (θ+2π, v)∼(θ,−v).
Localmente
En cada trivialización usamos la conexión ordinaria d, de curvatura cero.
Una vuelta
Una componente paralela permanece constante antes del pegado; al identificar la fibra inicial y final aparece el signo menos.
Resultado
La holonomía es −1. Este es un fibrado de línea general, no el tangente del círculo.
El ejemplo separa una propiedad local de la topología global.
La distinción de tipo de fibrado evita atribuir el giro de Möbius a TS¹.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Transporte cartesiano
Transporta V(0)=(2,−1) a lo largo de γ(t)=(t,t²) en el plano euclídeo.
Datos
Plano euclídeo, γ(t)=(t, t²) y V(0)=(2,−1).Carta
Usamos cartesianas, con base fija y métrica identidad.
Símbolos
Todos los Γ son cero.
Ecuación
D_tV=0 equivale a (V¹)′=0 y (V²)′=0.Solución
Las componentes iniciales se mantienen: V(t)=(2,−1).Control
Su norma es raíz de 2²+(−1)², es decir raíz de cinco, constante en todo el recorrido.
V(t)=(2,−1).
Su norma √5 se conserva.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un símbolo polar
Calcula Γʳ_(θθ) en r=3 para la métrica plana polar.
Métrica
En polares del plano, g=dr²+r²dθ².Inversa
g^{rr}=1 y g^{θθ}=1/r².Derivada
∂ᵣgθθ=2r.Fórmula
Γʳ_(θθ)=−(1/2)g^{rr}∂ᵣgθθ=−r.Evaluar
En r=3 el símbolo vale −3.Interpretar
El plano sigue siendo plano: este coeficiente expresa el cambio de base polar, no una curvatura no nula.
Γʳ_(θθ)=−3.
La métrica sigue siendo plana: este símbolo depende de la carta.
Los símbolos que hemos usado
- M y TₚM
- Variedad suave y espacio de vectores tangentes a M en el punto p.
- X,Y
- Campos vectoriales suaves, que asignan un vector tangente a cada punto.
- ∇ₓY
- Derivada covariante de Y en la dirección del campo X.
- g
- Métrica riemanniana: producto interno positivo en cada TₚM que varía suavemente.
- Γᵏᵢⱼ
- Coeficientes definidos por ∇_{∂ᵢ}∂ⱼ=∑ₖΓᵏᵢⱼ∂ₖ en una carta.
- DₜV
- Derivada covariante de un campo V a lo largo de una curva γ(t).
- [X,Y]
- Corchete de campos, definido por [X,Y](f)=X(Y(f))−Y(X(f)).
- Pγ
- Aplicación de transporte paralelo entre los espacios tangentes de los extremos de γ.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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