Autovalores, autovectores y diagonalización

El cero no se llama autovector porque cumpliría la igualdad para cualquier λ sin señalar dirección. Sí puede haber autovalor cero: su espacio propio será el núcleo.

En los reales, λ>0 conserva sentido, λ<0 lo invierte y λ=0 aplasta esa dirección. No todo vector tiene por qué ser propio. En los complejos hablamos de una recta compleja estable, que puede incluir factores de fase.

Este sistema tiene una solución no nula exactamente si la matriz es singular. Usaremos el polinomio característico p_A(t)=det(tI−A); sus raíces son los autovalores en el cuerpo elegido.

El polinomio es mónico de grado n para A de tamaño n. Encontrar sus raíces no completa la diagonalización: para cada una resolvemos un sistema homogéneo. No elegimos luego un vector cualquiera ni copiamos una columna como autovector sin comprobar la igualdad.

E_λ=ker(A−λI) contiene todos los vectores propios de λ y el cero. Como núcleo es subespacio. Sus elementos no nulos son los autovectores; una base de E_λ permite describir todas las direcciones propias de ese valor.

Resolvemos con parámetros libres. Si λ es una raíz exacta, debe aparecer al menos una dirección no nula. Si usamos una raíz decimal aproximada, los residuos pueden ser pequeños sin ser exactamente cero; no confundimos esa cuenta numérica con un núcleo algebraico exacto.

La multiplicidad algebraica de λ es cuántas veces aparece como raíz de p_A. La geométrica es dimE_λ.

Para entender la segunda desigualdad, una base de E_λ puede ampliarse al espacio completo; en esa base la matriz tiene un bloque λI que obliga a los correspondientes factores t−λ en su polinomio.

Una raíz repetida puede aportar suficientes direcciones o no. No concluimos falta de diagonalización solo porque una raíz se repita. Tampoco contamos múltiplos del mismo autovector como nuevas direcciones.

Si P tiene n autovectores independientes como columnas y D sus autovalores en el mismo orden, AP=PD.

Recíprocamente esa igualdad significa que las columnas de P forman una base propia.

El criterio exige que p_A se descomponga en factores lineales en el cuerpo elegido y que cada multiplicidad geométrica iguale la algebraica. Autovectores de valores distintos son independientes: aplicar A−λI elimina una de las direcciones y permite demostrarlo por inducción sobre la cantidad de valores. Tener n raíces distintas basta, pero no es necesario.

Si intercambiamos columnas de P, intercambiamos también las entradas de D. Un conjunto de autovectores correctos en un orden incompatible produce una fórmula incorrecta.

Después comprobamos que P sea invertible. Encontrar algunos autovectores no basta si no reúnen n direcciones independientes. La identidad y la invertibilidad son dos partes de la verificación.

En ℝ no tiene raíces y ninguna dirección real no nula se mantiene como un múltiplo real: gira noventa grados. No hay diagonalización real.

En ℂ sí existen las raíces i y −i. Los vectores pueden tener componentes complejas y forman una nueva clase de direcciones permitidas. Por eso toda respuesta de diagonalización debe indicar el cuerpo de escalares.

El teorema espectral asegura que una matriz real simétrica tiene autovalores reales y una base ortonormal de autovectores. Podemos elegir Q ortogonal, de modo que A=QDQᵀ.

En ℂ la condición análoga es A*=A, hermítica; * significa traspuesta conjugada. Sus autovalores también son reales y se diagonaliza con una base ortonormal compleja. Una matriz general no tiene esa garantía por el solo hecho de ser cuadrada.

Si A=PDP⁻¹, los factores intermedios P⁻¹P se cancelan y Aᵏ=PDᵏP⁻¹ para enteros k≥0. Dᵏ se calcula elevando sus entradas. Esto permite resolver recurrencias vectoriales y construir funciones matriciales mediante series.

La suma de todas las raíces con multiplicidad es la traza y su producto el determinante, considerando ℂ si hace falta. Son controles útiles, pero no comprueban que una P elegida cumpla AP=PD. Si faltan autovectores, usamos otros métodos en lugar de inventar una dirección.