Calcula det [[3,2],[1,1]].
Usa ad−bc.
Para una matriz de dos filas((a,b),(c,d)), el determinante es ad−bc.
El valor es1. Al ser la matriz entera y unimodular, su inversa también es entera y define un automorfismo toral.
¿Cuál es la dimensión real de R³/Z³?
El cociente discreto no cambia dimensión.
Z³ actúa sobre R³ por traslaciones discretas. Cerca de un punto se puede elegir una bola tan pequeña que no se solape con sus trasladadas enteras no triviales.
La proyección de esa bola al cociente es una carta local con tres coordenadas reales.
Por ello R³/Z³ tiene dimensión real3; la identificación global de puntos no suprime una dirección local.
Para A=[[2,1],[1,1]], evalúa la primera coordenada de A(1,2).
Multiplica la primera fila.
La primera fila de A es(2,1) y el vector es(1,2).
La primera coordenada en R² es4. Si después se toma la clase en el toro,4 representa la coordenada0 módulo1; el enunciado pide el valor antes de ese cociente.
Prueba que una matriz entera induce un mapa bien definido en el toro.
Compara dos representantes x y x+z.
Sean x y x+z dos representantes de la misma clase, con z∈Zⁿ.
Como las entradas de A y las coordenadas de z son enteras, Az∈Zⁿ. Las dos imágenes representan la misma clase[Ax].
Esto demuestra que el mapa está bien definido. Para que sea un automorfismo se necesita además inversa entera, equivalente a det A=±1.
Explica por qué det 2 no basta para un automorfismo toral inducido por matriz entera.
La inversa puede no ser entera y el mapa puede tener núcleo finito.
La condición de automorfismo exige inyectividad además de que el mapa esté bien definido y sea sobreyectivo.
Las clases distintas[0] y[1/2] tienen ambas imagen[0].
Por tanto D no es inyectiva, aunque su determinante sea2 y no cero.
En general una matriz entera de determinante no nulo tiene núcleo finito de tamaño|det A|. El valor±1 es el que hace trivial ese núcleo y permite una inversa entera.