Un grupo puede mover todo un espacio, pero un movimiento concreto quizá solo recorra una curva cerrada. La dinámica homogénea estudia esas órbitas. Empezaremos por identificar puntos equivalentes y cambiar bases de retículos, antes de precisar qué afirman los resultados de rigidez.
Si necesitas repasar:
1. En un cociente varios representantes describen el mismo punto
Un espacio homogéneo admite una acción transitiva de un grupo G: con algún elemento del grupo se puede ir de cualquier punto a cualquier otro. Si Γ es el estabilizador de un punto, el espacio se representa como G/Γ.
Elegir un subgrupo H o un movimiento hₜ restringe lo que hacemos. Que G actúe transitivamente no implica que H tenga todas sus órbitas densas. Primero se distingue el espacio completo, el movimiento elegido y la órbita de un estado.
Cambiar un representante en el círculo
R/Z identifica x con x+n, n entero. Trasladar por 3/10.
Mismo punto
1/5 y 6/5 representan la misma clase.
Trasladar
Las imágenes son 1/2 y 3/2.
Comparar
Difieren en uno, por lo que vuelven a representar el mismo punto.
La traslación está bien definida sobre clases.
La operación se comprueba con representantes, no escogiendo uno de manera arbitraria y olvidando los demás.
Comprobar la acción en G sobre Γ
Dos representantes g y gγ, con γ∈Γ.
Multiplicar
h(gγ)=(hg)γ por asociatividad.Clase
(hg)γΓ=(hg)Γ, porque γ pertenece a Γ.Conclusión
La clase resultante no depende del representante.
La convención es acción izquierda sobre clases derechas.
Otras fuentes usan Γ sobre G y acción derecha; se relacionan por inversión, sin mezclar fórmulas.
2. Volumen finito y compacidad son condiciones distintas
Un subgrupo discreto Γ es un retículo si G/Γ tiene una medida G-invariante finita no nula. Se normaliza como probabilidad. Si el cociente es compacto se llama retículo uniforme o cocompacto. La discreción da cartas locales de la misma dimensión que G.
El toro Rⁿ/Zⁿ es compacto. En cambio SL(2,R)/SL(2,Z) tiene volumen finito y no es compacto. El retículo diag(eᵗ,e⁻ᵗ)Z² tiene área uno pero un vector no nulo de longitud e⁻ᵗ. La longitud del vector más corto es positiva y continua en el espacio de retículos; en un compacto tendría una cota inferior positiva.
Esa familia escapa hacia la cúspide.
Un área fija permite una forma muy alargada
g=diag(4,1/4).
Base
Sus columnas son (4,0) y (0,1/4).
Área
El determinante es 4·(1/4)=1.Vector corto
El segundo vector mide 1/4; con diag(4ʲ,4⁻ʲ) puede hacerse arbitrariamente corto.
Conservar covolumen no impide degeneración hacia la cúspide.
La longitud mínima del retículo no depende de cómo nombremos una base.
Una dimensión local no desaparece al tomar cociente discreto
R³/Z³.
Vecindad
Una bola suficientemente pequeña no se cruza con sus trasladadas enteras no triviales.
Carta
Su proyección da una vecindad con tres coordenadas reales.
Dimensión
El toro tiene dimensión real tres, aunque sea compacto.
Identificar puntos globalmente no suprime una dirección local.
No se calcula la dimensión restando el número de elementos del subgrupo.
3. Una matriz entera induce un mapa del toro; una unimodular da automorfismo
La fórmula 
([x])=[Ax] es compatible con el toro si A tiene entradas enteras: A(x+z)−Ax=Az∈Zⁿ. Si det A=±1, la inversa adj(A)/det A también es entera y el mapa es invertible.
Si el determinante entero es no nulo y tiene módulo mayor que uno, el mapa sigue siendo sobreyectivo pero no inyectivo: su núcleo tiene |det A| elementos. Una traslación [x]↦[x+a] y un automorfismo lineal [x]↦[Ax] son acciones algebraicas diferentes; no llamamos traslación aditiva a toda matriz toral.
La matriz del ejemplo tiene inversa entera
A tiene filas (2,1) y (1,1).
Determinante
2·1−1·1=1.Inversa
A⁻¹ tiene filas (1,−1) y (−1,2).
Comprobar
Los productos AA⁻¹ y A⁻¹A son la identidad.
A induce un automorfismo de T².
Que el determinante sea distinto de cero sobre R no habría sido suficiente para una inversa en el toro.
Dos fallos distintos que conviene separar
En R/Z, comparar x↦x/2 y x↦2x.
Primero
0 y uno representan la misma clase, pero sus mitades cero y un medio no: x/2 no está bien definido sobre clases.
Segundo
2x sí está bien definido porque dos es entero.
Inyectividad
Las clases cero y un medio tienen ambas imagen cero; el segundo mapa no es automorfismo.
Bien definido e invertible son comprobaciones distintas.
En la práctica que pide A(1,2), la coordenada cuatro se calcula antes de reducir módulo uno.
4. La estructura algebraica organiza direcciones sin hacer densas todas las órbitas
Un automorfismo entero unimodular preserva la probabilidad de Haar del toro: transporta Haar a otra probabilidad de Haar y se usa su unicidad. Su jacobiano tiene módulo uno. Si no hay autovalores de módulo uno, la derivada constante da hiperbólicidad uniforme.
Eso permite describir órbitas típicas mediante teoremas apropiados, pero no vuelve densas todas las órbitas. Los puntos de denominador q están en un conjunto finito que A permuta. Como A es invertible, cada órbita de ese conjunto es periódica.
Leer el espectro de la matriz del toro
A con filas (2,1),(1,1).
Polinomio
El característico es λ²−3λ+1.
Raíces
Son (3+√5)/2 y (3−√5)/2.
Módulos
La primera supera uno y la segunda está entre cero y uno: hay direcciones inestable y estable.
El automorfismo es hiperbólico, con determinante uno.
La expansión en una dirección se compensa con contracción en la otra.
Una órbita periódica que no llena el toro
Comenzar en [1/2,0].
Primero
A[1/2,0]=[0,1/2].Segundo
A[0,1/2]=[1/2,1/2].Tercero
A[1/2,1/2]=[1/2,0], y se repite.
La órbita tiene tres puntos.
Su existencia no contradice resultados formulados para casi todos los puntos de Haar.
5. El cociente de matrices registra retículos sin elegir una base
Multiplicar a la derecha por γ∈SL(d,Z) cambia su base, pero γZᵈ=Zᵈ y el retículo geométrico sigue igual. Así gΓ representa un retículo sin base elegida.
Las desigualdades diofánticas pueden traducirse en buscar vectores del retículo dentro de regiones pequeñas. Una matriz diagonal cambia escalas y una unipotente hace una cizalla. Para deducir un resultado de aproximación racional hay que especificar el flujo y la correspondencia de vectores; la analogía no basta.
Cambiar una base sin cambiar sus puntos enteros
g=diag(2,1/2) y γ con filas (1,1),(0,1).
Base inicial
Las columnas de g son (2,0) y (0,1/2).
Nueva base
Las de gγ son (2,0) y (2,1/2): la segunda se ha sumado a la primera.
Mismo retículo
Restar la primera columna recupera la base inicial; las combinaciones enteras son las mismas.
g y gγ representan el mismo punto del cociente.
No es necesario que las matrices sean iguales.
Un error racional aparece como una coordenada de un vector
gα tiene filas (1,α),(0,1), con α=√2.
Vector entero
Elegimos (q,−p)=(7,−5).Imagen
gα(7,−5)=(7−5√2,−5); la primera coordenada es pequeña, aproximadamente −0,0711.Escalar
diag(eᵗ,e⁻ᵗ) reduce la segunda coordenada pero amplifica la primera: hay una competencia de escalas.
La geometría registra el error de aproximar √2 por 7/5.
No se ha afirmado una cota diofántica universal a partir de este único vector.
6. Una matriz unipotente produce dependencia polinómica del tiempo
u es unipotente si u−I es nilpotente. Sus autovalores son uno, pero no tiene por qué ser la identidad.
Contrasta con aₜ=diag(eᵗ,e⁻ᵗ), de expansión exponencial y no unipotente cuando t≠0. En grupos generales la condición se formula en la representación adjunta; aquí usamos el caso matricial de SL(d,R).
Comprobar la ley del parámetro
uₜ tiene filas (1,t),(0,1).
Producto
Multiplicar uₜ por uₛ da filas (1,t+s),(0,1).
Identidad
En t=0 se obtiene I.Inversa
u₋ₜ deshace uₜ porque sus parámetros suman cero.
El parámetro representa un flujo de cizallamientos.
La composición suma tiempos; no multiplica los parámetros.
Una unipotente puede contener términos cuadráticos
N de tamaño tres tiene unos en las dos posiciones de superdiagonal y ceros en el resto.
Potencias
N² solo tiene un uno en la esquina superior derecha y N³=0.
Exponencial
exp(tN)=I+tN+t²N²/2.En t=2
Las filas son (1,2,2),(0,1,2),(0,0,1).
La divergencia polinómica no significa siempre crecimiento lineal.
El grado viene de la nilpotencia; este cálculo no demuestra por sí solo los teoremas de rigidez.
7. Ratner organiza cierres de órbitas y medidas bajo hipótesis unipotentes
Una versión suficiente es: G=SL(d,R), Γ retículo y U={uₜ} subgrupo uniparamétrico unipotente. Para cada x∈G/Γ existe H cerrado y conectado, con U⊂H, tal que la clausura de U·x es H·x. Esta órbita es cerrada y tiene volumen H-invariante finito.
La clasificación de medidas afirma que una probabilidad U-invariante y U-ergódica en ese cociente es homogénea: volumen normalizado de una órbita cerrada de un subgrupo apropiado. Ergodicidad no se omite en esa conclusión individual.
No se afirma siempre H=G ni densidad de todas las órbitas. Tampoco se aplica al flujo diagonal solo por vivir en el mismo cociente. Conocer una clausura no determina por sí solo las frecuencias de visita; los teoremas de equidistribución añaden esa información.
La conclusión permite una órbita cerrada pequeña
En SL(2,R)/SL(2,Z), la órbita UΓ por la identidad.
Periodo
u₁ es entera unimodular; uₜ₊₁Γ=uₜΓ.Compacidad
El parámetro se toma módulo uno: la órbita es imagen de un círculo compacto.
Ratner
Aquí un subgrupo H posible es el propio U; no se exige llenar G/Γ.
La órbita cerrada es compatible con rigidez.
Un subgrupo pequeño puede producir una conclusión homogénea sin dar el volumen total.
Por qué se exige ergodicidad de la medida
Mezclar a partes iguales el volumen de esa órbita cerrada y el volumen total del cociente.
Invariancia
Las dos probabilidades son U-invariantes; su mezcla también.
Conjunto
La órbita cerrada es invariante, tiene medida uno para su volumen y cero para el volumen ambiente.
Mezcla
La probabilidad combinada le asigna 1/2: no es ergódica.
Invariancia sola no da la conclusión individual de clasificación ergódica.
La órbita tiene dimensión menor y por ello volumen ambiente cero.
8. Un joining registra una relación entre dos sistemas
Una conjugación medible que preserve medidas y entrelace dos acciones define una probabilidad en el producto: se escoge x y se considera (x,ψ(x)). Sus marginales son las medidas declaradas y la acción diagonal la preserva. Eso es un joining apoyado en una gráfica.
Clasificar joinings puede restringir conjugaciones y factores. No toda probabilidad con marginales dadas está apoyada en una gráfica, ni cualquier conjugación de una acción homogénea tiene por qué ser lineal. Las conclusiones algebraicas requieren su teorema y sus hipótesis.
Una gráfica invariante entre rotaciones
Dos círculos con la misma rotación α y ψ(x)=x+β mod1.
Entrelazar
ψ(x+α)=x+α+β=Rα(ψ(x)).Gráfica
El par (x,x+β) se lleva a (x+α,x+α+β), que sigue en la gráfica.
Medidas
Con x uniforme, ambas marginales son Lebesgue.
La gráfica produce un joining de los dos sistemas.
Se ha comprobado una relación concreta; no se ha clasificado toda relación posible.
Las marginales no determinan la relación
Comparar (x,x) con dos coordenadas uniformes independientes.
Marginales
En ambos casos, cada coordenada es uniforme en el círculo.
Dependencia
En la diagonal la segunda coordenada es la primera; en el producto son independientes.
Invariancia
Ambas probabilidades son invariantes por rotaciones simultáneas iguales.
Hay joinings distintos con las mismas marginales.
La probabilidad producto no se presenta como la gráfica de una función determinista de la primera coordenada.
9. Mostow convierte una equivalencia topológica en una isometría bajo condiciones precisas
Para variedades hiperbólicas cerradas de dimensión n≥3, curvatura seccional constante −1, una equivalencia de homotopía es homotópica a una isometría. Este es un enunciado de Mostow. Cerrada significa compacta sin borde. La dimensión y la normalización métrica pertenecen a las hipótesis.
En dimensión dos, superficies cerradas de género al menos dos admiten familias de estructuras hiperbólicas no isométricas; no vale el mismo resultado. La superrigidez de Margulis trata representaciones de retículos irreducibles de rango superior en otro marco. El cálculo de un determinante del toro no verifica esas hipótesis ni prueba estos teoremas.
Leer una consecuencia métrica
M y N son hiperbólicas cerradas tridimensionales de curvatura −1 y son homotópicamente equivalentes.
Hipótesis
Dimensión tres, cierre y curvatura normalizada cumplen el enunciado.
Conclusión
Existe una isometría en la clase de homotopía correspondiente.
Longitudes
Esa isometría lleva una curva a otra de la misma longitud.
La equivalencia tiene una consecuencia geométrica exacta.
No afirma que cualquier mapa continuo concreto entre M y N conserve longitudes.
La misma topología no fija la métrica en dimensión dos
Una superficie cerrada de género dos con estructuras hiperbólicas distintas.
Dimensión
Tiene dimensión dos, fuera de la hipótesis n≥3.Familia
Puede variar su estructura hiperbólica conservando la topología.
Diagnóstico
No se puede invocar ese enunciado para declarar todas las métricas isométricas.
La excepción dimensional es esencial.
La palabra hiperbólica aquí se refiere a curvatura −1, no a un autovalor de un mapa dinámico.
10. Una órbita unipotente periódica permite verificar la conclusión con cuentas
Por tanto la clase vuelve al mismo retículo tras una unidad de parámetro. U∩SL(2,Z) corresponde exactamente a parámetros enteros; la órbita se parametriza por R/Z.
Su probabilidad uniforme es invariante por el flujo y está apoyada en una curva cerrada, no en todo el cociente tridimensional. Este ejemplo concreta la diferencia entre una medida homogénea y el volumen total. Las medias temporales en una órbita periódica se calculan directamente sobre un periodo.
Dos matrices distintas pueden ser el mismo punto
Comparar u₁ᐟ₄Γ y u₅ᐟ₄Γ.
Diferencia temporal
5/4=1/4+1.Multiplicar
u₅ᐟ₄=u₁ᐟ₄u₁.Clase
Como u₁∈Γ, las dos clases coinciden.
El cociente identifica un cambio entero de base.
En cambio u₁ᐟ₂ no pertenece a Γ: el periodo no se reduce a un medio.
La media sobre el periodo no necesita densidad en el ambiente
Observable en la órbita f(uₜΓ)=cos(2πt).
Bien definido
Sumar uno a t no cambia el coseno.
Periodo
∫₀¹cos(2πt)dt=0.Tiempo largo
Dividir un intervalo largo en periodos más un resto muestra que su promedio temporal tiende a cero.
Coincide con la integral para la probabilidad uniforme de esta órbita.
La cuenta no afirma que una órbita cerrada visite regiones exteriores a ella.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un automorfismo toral
Para A=[[2,1],[1,1]], comprueba que induce automorfismo de T².
Matriz
A tiene filas (2,1) y (1,1), todas enteras.
Clases
Si x cambia por z∈Z², Ax cambia por Az∈Z²; el mapa está bien definido.
Determinante
det A=2·1−1·1=1.Inversa
La adjunta da A⁻¹ con filas (1,−1) y (−1,2).
Entera
Esa inversa también define un mapa del toro y deshace
.Conclusión
es un automorfismo de T². La comprobación no necesita afirmar densidad de todas sus órbitas.
T_A es un automorfismo del toro.
La inversa es [[1,−1],[−1,2]].
EJEMPLO RESUELTO 2
Un punto fijo evidente
Calcula la imagen de [0,0] por T_A.
Punto
[0,0] es la clase del vector cero.
Primera fila
2·0+1·0=0.Segunda fila
1·0+1·0=0.Vector
A(0,0)=(0,0).Cociente
Su clase imagen sigue siendo [0,0].
Conclusión
Es punto fijo y su órbita es un singleton; no toda órbita del automorfismo es densa.
[0,0] es un punto fijo.
No toda órbita puede ser densa.
Los símbolos que hemos usado
- G y Γ
- Grupo de Lie y subgrupo discreto; Γ es un retículo si G/Γ admite una medida G-invariante finita no nula.
- gΓ∈G/Γ
- Clase lateral derecha de g; G actúa por multiplicación a la izquierda.
- mX
- Medida de volumen invariante del cociente, normalizada para tener masa uno cuando Γ es retículo.
- H·x
- Órbita de x bajo un subgrupo H≤G; el punto puede tener un estabilizador no trivial.
- SL(d,R)/SL(d,Z)
- Espacio de retículos de covolumen uno en Rᵈ, con x=gSL(d,Z) asociado a gZᵈ.
- uₜ=exp(tN)
- Subgrupo unipotente de matrices cuando N es nilpotente, es decir,Nᵏ=0 para algún k.
- A∈GL(n,Z)
- Matriz entera de determinante±1, cuya inversa también es entera.
- Medida homogénea
- Probabilidad invariante por un subgrupo H, apoyada en una órbita cerrada H·x de volumen finito.
- Rigidez
- Fenómeno por el que una relación inicialmente débil obliga a una descripción algebraica o geométrica fuerte.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
Practicar este tema →Para ampliar
- Dave Witte Morris, Ratner’s Theorems on Unipotent Flows, capítulo1: órbitas, medidas, equidistribución y joinings
- Marina Ratner, Invariant measures for unipotent translations on homogeneous spaces (1990)
- Curtis T.McMullen, Riemann Surfaces, Dynamics and Geometry, teorema1.1 de Mostow
- Richard Evan Schwartz, Mostow Rigidity Made Easier