Multiplicar dos matrices en distinto orden puede cambiar el resultado. Su diferencia será nuestro primer corchete. Desde ese cálculo separaremos subálgebra, ideal, solubilidad y semisimplicidad; después comprobaremos sl₂ mediante ideales y mediante una matriz de Killing. Trabajamos en dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero, por ejemplo R o C.
Si necesitas repasar:
1. El corchete compara dos órdenes de multiplicación
Antes de usar nombres nuevos, calculamos ambos productos.
No es una multiplicación asociativa.
Un álgebra de Lie es un espacio vectorial con un corchete bilineal alternante que cumple Jacobi: ![[X,[Y, Z]]+[Y,[Z, X]]+[Z,[X, Y]]=0](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-fabc05b47309.svg)
. Al expandir los tres corchetes de matrices, cada producto de tres factores aparece con signos opuestos. Esa cancelación es la razón de que el ejemplo funcione.
La resta exige conservar el signo del segundo producto
H=diag(1,−1), E con entrada uno en (1,2) y ceros en el resto.
Primer orden
HE=E: la primera fila de E se multiplica por uno.Orden inverso
EH=−E: su segunda columna se multiplica por menos uno.
Restar
[H, E]=E−(−E)=2E, que tiene traza cero.
El resultado depende del orden y del signo de la resta.
[E, H]=−2E, no 2E.
Una identidad que vale para todas las matrices
Comprobar alternancia y traza del corchete.
Misma entrada
[A, A]=AA−AA=0 sin suponer A diagonalizable.Traza
tr(AB)=tr(BA), de modo que tr[A, B]=0.Cierre
Las matrices de traza cero quedan cerradas bajo el corchete, aunque el producto AB por separado pueda tener traza no nula.
El cierre necesario es para AB−BA.
Por ejemplo EF tiene traza uno en la base habitual, pero [E, F] tiene traza cero.
2. Un ideal debe soportar también corchetes con elementos de fuera
Un ideal I satisface [g, I]⊆I: puede entrar cualquier elemento de toda el álgebra. Se comprueba en bases y se extiende por bilinealidad.
Esta condición permite definir [X+I, Y+I]=[X, Y]+I sin depender de los representantes. El centro contiene los elementos que conmutan con todos; es un ideal abeliano. Los núcleos de homomorfismos son también ideales.
Una recta cerrada consigo misma puede fallar como ideal
En sl₂, U=kE y F tiene entrada uno en (2,1).
Dentro de U
[aE, bE]=0, así que U es subálgebra abeliana.Desde fuera
[F, E]=−H, con H diagonal uno menos uno.Comparar
H no es múltiplo de E. El corchete sale de U y U no es ideal.
Basta un contraejemplo externo para descartar un ideal.
Que [H, E]=2E caiga dentro no cubre la prueba con F.
Un ideal central concreto
Matrices estrictamente triangulares superiores 3×3, base A=E₁₂, B=E₂₃, C=E₁₃.
Productos
AB=C y BA=0, luego [A, B]=C.Con C
AC=CA=BC=CB=0, así que [A, C]=[B, C]=0.Ideal
kC conmuta con toda la base y por bilinealidad con todo el álgebra.
Aquí la recta central sí es ideal.
El contraste es entre estabilidad externa comprobada y cierre solo interno.
3. Soluble y nilpotente repiten operaciones distintas
La serie derivada parte de g y reemplaza el subespacio anterior por sus propios corchetes: g⁽ʳ⁺¹⁾=[g⁽ʳ⁾, g⁽ʳ⁾]. Ser soluble significa llegar a cero. En la serie central descendente se conserva toda g en el primer lugar: g₁=g, gᵣ₊₁=[g, gᵣ]. Llegar a cero aquí significa nilpotente.
Nilpotente implica soluble, pero no al revés. En cada paso se toma el subespacio generado por los corchetes; no un único producto escogido. Una relación de dos elementos puede mostrar por qué una serie se detiene y la otra no.
Una misma álgebra da dos cadenas diferentes
Base H, E con [H, E]=E.
Primer derivado
Todos los corchetes son múltiplos de E y E aparece: [g, g]=kE.
Derivada
[kE, kE]=0.La serie llega a cero y g es soluble.
Central
[g, kE]=kE porque [H, E]=E.Se repite para siempre: no es nilpotente.
No se intercambian las dos reglas de recurrencia.
La relación usa coeficiente uno en este ejemplo de dimensión dos, no la normalización de sl₂.
Un ejemplo que sí llega a cero en la serie central
El álgebra triangular de A, B, C del apartado anterior.
Primer paso
[g, g]=kC.Siguiente
[g, kC]=0 porque C es central.Resultado
La serie central es g, kC, 0. Es nilpotente y también soluble.
Conocer todos los corchetes de una base permite calcular ambas series.
No todas las matrices triangulares superiores son estrictas; la diagonal cambiaría el ejemplo.
4. Semisimple se refiere a ideales solubles, no a cada elemento
El radical rad(g) es el mayor ideal soluble. En dimensión finita existe.
Un álgebra simple es no abeliana y solo tiene los ideales 0 y g; es semisimple. En característica cero, una semisimple finita se descompone en suma directa de ideales simples: es un teorema estructural.
Una álgebra reductiva permite además un centro abeliano. En gl₂ se separa cada matriz X como X−tr(X)I/2 más tr(X)I/2. La primera parte tiene traza cero y la segunda es central. El centro impide que gl₂ sea semisimple.
Abeliana no nula: el radical se ve entero
g=k² con corchete idénticamente cero.
Ideal
Todo g es ideal de sí mismo.
Soluble
Su primer derivado es cero.
Radical
rad(g)=g≠0, de modo que g no es semisimple.
La definición ya decide sin calcular determinantes.
La dimensión dos no provoca el fallo: el ideal soluble no nulo sí.
Separar centro y parte de traza cero
X=diag(5,1) en gl₂(Q).
Traza
tr(X)=6; la parte escalar es 3I.Resto
X−3I=diag(2,−2)=2H, de traza cero.Estructura
El ideal kI es abeliano y no nulo. gl₂ es reductiva, pero no semisimple.
La descomposición explica el papel del centro.
Dividir por dos usa la característica cero fijada.
5. La adjunta actúa sobre el espacio de matrices de traza cero
ad X es el operador Y↦[X, Y] sobre g. Jacobi implica ad[X, Y]=[ad X, ad Y], por lo que es una representación. Para sl₂, el espacio sobre el que actúa tiene base H, E, F y dimensión tres.
Se compone primero ad Y y después ad X. Aunque X, Y sean matrices 2×2, aquí se toma una traza de operadores 3×3. Es bilineal, simétrica e invariante; no se sustituye por tr(XY) sin justificar el factor.
Escribir las columnas de ad H
Usar [H, H]=0, [H, E]=2E y [H, F]=−2F.
Imagen de H
La primera columna es cero.
Otras imágenes
E va a 2E y F a −2F.
Matriz
En la base H, E, F queda diag(0,2,−2), una matriz 3×3.
La dimensión del operador adjunto es tres.
Sus columnas describen imágenes de H, E, F, no imágenes de los dos vectores estándar.
Componer para calcular una entrada de Killing
B(E, F)=tr(ad E ad F).
En H
ad F(H)=2F; después ad E(2F)=2H.En E
ad F(E)=−H; después ad E(−H)=2E.En F
ad F(F)=0.La diagonal de la composición es 2,2,0 y su traza cuatro.
La composición muestra de dónde sale el cuatro.
Invertir el orden conserva la traza, pero no todas las imágenes individuales.
6. Cartan convierte una pregunta de ideales en una de álgebra lineal
Para g de dimensión finita en característica cero, el criterio de Cartan afirma que g es semisimple si y solo si su forma de Killing es no degenerada.
Es un teorema que enunciamos; el determinante siguiente es su aplicación.
Se calcula la matriz B(eᵢ, eⱼ) en una base. Un determinante no nulo prueba no degeneración. La misma receta no puede trasladarse sin revisión a característica positiva, donde los coeficientes e incluso las relaciones cambian.
La forma cero deja un núcleo completo
g abeliana no nula.
Adjunta
Cada [X, Y]=0; por tanto todos los ad X son cero.
Killing
Todas las trazas B(X, Y) son cero.
Núcleo
Cualquier X no nulo empareja a cero con todos. La forma es degenerada.
Coincide con el radical calculado antes.
En el espacio cero no hay un vector no nulo para este argumento.
No degenerada no significa positiva
Matriz de Killing de sl₂ en H, E, F.
Dos direcciones
B(E, E)=B(F, F)=0 y B(E, F)=4.Sumas
B(E+F, E+F)=8, mientras B(E−F, E−F)=−8 sobre R.Distinción
La forma puede tomar ambos signos y seguir siendo no degenerada.
El criterio usa núcleo cero y no positividad.
Un vector de longitud cuadrada cero no está por ello en el núcleo de toda la forma.
7. Las tres relaciones de sl₂ permiten demostrar que es simple
Las matrices de traza cero tienen forma 
.
Todas las constantes y signos se fijan así.
Si I es ideal, es estable por T=ad H y por cualquier polinomio en T. Como los autovalores 0,2,−2 son distintos, los proyectores 
aíslan las tres componentes. En estas fórmulas I denota el operador identidad; el ideal se entiende por el contexto.
Extraer componentes sin suponerlas ya dentro
X=H+3E−2F pertenece a un ideal J.
Proyectar
P_H(X)=H, P_E(X)=3E y P_F(X)=−2F.Estabilidad
J contiene esos resultados porque es estable por ad H y sus polinomios.
Generar
De H, tomar [H, E]=2E y [H, F]=−2F produce toda la base.
El ideal J es toda sl₂.
Dividir por dos o tres es válido en el cuerpo fijado.
La prueba no necesita que aparezcan las tres componentes
J no nulo contiene alguna combinación aH+bE+cF≠0.
Elegir
Al menos un proyector da una componente no nula; se reescala para obtener H, E o F.
Llegar a H
Si aparece E, [E, F]=H.Si aparece F, [E, F]=H usando un elemento externo permitido.Completar
Desde H se obtienen E y F. No hay ideal propio no nulo y sl₂ no es abeliana.
sl₂ es simple y por ello semisimple.
Los corchetes con elementos externos están permitidos precisamente por ser un ideal.
8. La matriz de Killing ofrece una segunda comprobación completa
Las composiciones de ad E consigo mismo y de ad F consigo mismo tienen traza cero; lo mismo ocurre al emparejar H con E o F.
![[B]_{H, E, F}=\begin{pmatrix}8&0&0\\0&0&4\\0&4&0\end{pmatrix}](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-571666e2f69e.svg)
.Es no nulo en característica cero, y el criterio de Cartan confirma la semisimplicidad por un camino distinto.
Detectar el núcleo resolviendo ecuaciones
X=aH+bE+cF y B(X, Y)=0 para toda Y.
Con H
B(X, H)=8a=0, luego a=0.Con E y F
B(X, E)=4c=0 y B(X, F)=4b=0.Conclusión
b=c=0; X=0.La forma no tiene núcleo.
Se puede comprobar sin memorizar el determinante.
Se emparejó con una base completa.
Contrastar una entrada con las matrices pequeñas
En este caso B(X, Y)=4tr(XY) sobre sl₂.
Comprobar H, H
H²=I, tr(H²)=2, y cuatro veces dos da ocho.Comprobar E, F
EF=diag(1,0), de traza uno; cuatro veces uno da cuatro.
Extender
Las demás parejas de la base también coinciden; por bilinealidad vale para cualquier X, Y.
El factor cuatro queda comprobado en una base.
No se usó tr(XY) como definición general de Killing.
9. Separar álgebra semisimple, elemento y representación
Semisimplicidad de g habla de su radical soluble. Diagonalizabilidad habla de un operador. Completa reducibilidad habla de descomponer una representación en subrepresentaciones irreducibles. Son preguntas relacionadas por teoremas bajo hipótesis, pero sus definiciones son distintas.
Para una semisimple compleja finita, raíces y pesos refinan esta estructura. Aquí ya tenemos un modelo de rango uno con sus cálculos completos; el siguiente tema desarrolla sus representaciones sin hacer pasar una lista de fórmulas por toda la clasificación.
Un elemento nilpotente dentro de un álgebra semisimple
La matriz E de sl₂.
Cuadrado
E²=0 y E≠0.Diagonalización
Una matriz diagonalizable cuyo único autovalor es cero sería la matriz cero; E no lo es.
Álgebra
sl₂ sigue siendo simple. La propiedad global no exige que cada elemento sea diagonalizable.
No hay contradicción entre ambas afirmaciones.
E no genera un ideal de sl₂, como ya se calculó.
Una subálgebra abeliana tampoco contradice la definición
La recta kH dentro de sl₂.
Corchete interno
[aH, bH]=0: es abeliana y soluble.Corchete externo
[E, H]=−2E sale de kH.Definición
No es un ideal soluble no nulo; por eso no pertenece al radical por ese motivo.
Buscar un subespacio soluble no basta: hay que comprobar que sea ideal.
El radical se define mediante ideales de toda g.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un corchete concreto
Calcula [H,E] en sl₂(R).
Datos
H=diag(1,−1) y E tiene uno en (1,2).Definir
[H, E]=HE−EH.HE
Multiplicar por H a la izquierda deja la primera fila y cambia el signo de la segunda; HE=E.
EH
Multiplicar a la derecha cambia el signo de la segunda columna; EH=−E.
Restar
E−(−E)=2E.Comprobar
La diagonal del resultado es cero, así que su traza es cero y pertenece a sl₂(R).
[H,E]=2E.
El resultado permanece en sl₂ porque su traza es cero.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un álgebra no semisimple
Decide si un álgebra abeliana no nula es semisimple.
Hipótesis
g es abeliana y no es el espacio cero.
Derivado
Todos sus corchetes son cero, luego [g, g]=0.
Soluble
La serie derivada llega a cero en un paso.
Ideal
Toda g es un ideal soluble de sí misma.
Radical
rad(g)=g≠0; por definición no es semisimple.Otra comprobación
ad X=0 para todo X, así que Killing es cero y degenerada en g no nula.
No es semisimple.
La forma de Killing también es cero.
Los símbolos que hemos usado
- g
- Espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero, equipado con corchete de Lie.
- [X,Y]
- Producto bilineal alternante que satisface Jacobi; para matrices, XY−YX.
- I ideal
- Subespacio con [g,I]⊆I.
- g^(r)
- Serie derivada: g^(0)=g y g^(r+1)=[g^(r),g^(r)].
- rad(g)
- Máximo ideal soluble de g.
- ad X
- Operador Y↦[X,Y] sobre g.
- B(X,Y)
- Forma de Killing tr(ad X∘ad Y).
- sl₂
- Matrices 2×2 de traza cero con el corchete de conmutadores.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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