Un peso dice cómo actúan ciertos operadores sobre un vector. Una raíz describe esa misma idea en la representación adjunta del álgebra. Veremos la diferencia en sl₂, construiremos sus cadenas de vectores y justificaremos de dónde sale la fórmula dimensión n+1. Usaremos representaciones finitas sobre C; al final veremos qué cambia cuando hay dos coordenadas de peso.
Si necesitas repasar:
1. Primero: qué actúa, sobre qué espacio y con qué normalización
Una representación asigna a X∈g un operador ρ(X) sobre V, de forma lineal y respetando corchetes: ρ([X, Y])=ρ(X)ρ(Y)−ρ(Y)ρ(X). Escribiremos Xv en vez de ρ(X)v. Irreducible significa V≠0 y sin subespacios estables distintos de 0 y V.
En una Cartan de rango mayor, el peso es una aplicación lineal λ: h→C que describe simultáneamente todos los h, no un único número sin contexto.
La representación estándar da dos pesos
V=C², H=diag(1,−1).
Primer vector
He₁=e₁: e₁ tiene peso uno.Segundo
He₂=−e₂: e₂ tiene peso menos uno.Acción
Ee₂=e₁ y Fe₁=e₂; los operadores conectan ambos espacios.
Los pesos estándar son 1 y −1.
Un peso se refiere a la acción elegida, no al nombre del álgebra solamente.
El vector cero no cuenta como un nuevo peso
En la representación estándar, Ee₁=0.
Identidad
H·0=λ·0 es cierta para cualquier λ.Definición
Para registrar un peso se exige un autoespacio no nulo.
Consecuencia
Ee₁=0 no produce un peso tres, aunque E suba en dos los pesos de sus imágenes no nulas.
La condición no nulo evita inventar pesos.
Se distingue que un vector se anule de que exista un nuevo autoespacio.
2. Las raíces son pesos de la adjunta y excluyen el cero
En una semisimple compleja y una Cartan h, las raíces son los pesos no nulos de su acción adjunta sobre g: [h, X]=α(h)X para todo h. El espacio de peso cero es la Cartan.
En cualquier representación, un vector X de raíz α transporta V_λ a V_(λ+α), o a cero.
Esta identidad explica las flechas; no supone que todas sean no nulas.
Comparar la adjunta con la representación estándar
Actuar con el mismo H sobre sl₂ y sobre C².
Adjunta
[H, E]=2E, [H, H]=0 y [H, F]=−2F: aparecen 2,0,−2.Raíces
Se excluye cero; las raíces son ±2 con esta normalización.
Estándar
Sobre C² los pesos son ±1, diferentes de esas raíces.
Raíces y pesos no son dos nombres para la misma lista en toda representación.
El cero es un peso de la adjunta, pero no una raíz.
Subir un peso sin perder el término del conmutador
Hv=3v y Ev≠0.
Reordenar
HEv=[H, E]v+EHv.Sustituir
2Ev+E(3v)=5Ev.Interpretar
Ev es no nulo y tiene peso cinco.
El aumento es dos por la relación [H, E]=2E.
Si Ev fuese cero, el cálculo no demostraría que cinco aparezca como peso.
3. Desde un vector máximo construimos una cadena que baja de dos en dos
Para sl₂(C), H actúa diagonalizablemente en una representación finita. Como hay finitos pesos, alguna cadena de aplicaciones de E termina.
No se están ordenando los complejos como si fueran reales.
Los pesos son distintos, de modo que los vectores no nulos de la cadena son independientes.
Bajar desde peso cuatro
Hv₀=4v₀ y Ev₀=0.
Primer descenso
H(Fv₀)=F(Hv₀)−2Fv₀=2Fv₀.Segundo
Si F²v₀≠0, su peso es cero.Continuar
Los siguientes posibles pesos son −2,−4,−6…; falta decidir dónde se anula F.
La relación da pesos posibles, pero aún no fija la longitud.
No se da por hecho que todos los términos escritos existan.
Una suma directa puede tener varios vectores máximos
V=V₁⊕V₀.
Primer sumando
El vector e₁ de V₁ tiene peso uno y E lo anula.
Trivial
El vector del sumando V₀ tiene peso cero y todos los operadores lo anulan.
Interpretar
Son dos cadenas distintas. La existencia de un máximo no demuestra irreducibilidad.
La hipótesis irreducible será necesaria para que una sola cadena agote V.
Los subespacios de ambos sumandos son estables.
4. La flecha de vuelta tiene un coeficiente que debemos calcular
.Así el espacio generado por la cadena es estable por F, H y también E. En una representación irreducible será todo V. Los coeficientes describen la acción completa: una lista de pesos sola no reemplaza este cálculo.
Construir las primeras tres flechas con λ=3
vⱼ=Fʲv₀.
j=1
Ev₁=3v₀.j=2
Ev₂=2(3−2+1)v₁=4v₁.j=3
Ev₃=3(3−3+1)v₂=3v₂.
Los coeficientes de vuelta son 3,4,3.
No todos valen uno en esta base.
El paso inductivo conserva el peso actual
Supongamos Ev₂=2(λ−1)v₁ y calculemos Ev₃.
Reordenar
EFv₂=FEv₂+Hv₂.Cada término
FEv₂=2(λ−1)v₂ y Hv₂=(λ−4)v₂.Sumar
[2λ−2+λ−4]v₂=3(λ−2)v₂.
Se usa el peso de v₂, no el peso inicial λ.
La fórmula general en j=3 da exactamente 3(λ−2).
5. Terminar la cadena obliga a que el peso máximo sea un entero no negativo
La dimensión finita impide una lista infinita de vectores independientes.
Se obtienen n+1 vectores de pesos n, n−2,…,−n. Recíprocamente, esas fórmulas con Fv_n=0 y Ev₀=0 cumplen las relaciones de sl₂ y construyen V_n. Para probar irreducibilidad, un subespacio estable no nulo permite aislar un peso con polinomios en H; E lo lleva a v₀ con coeficiente no nulo y F genera todos.
Si el último índice es dos, el máximo no puede ser siete
v₂≠0 y v₃=0.
Aplicar E
0=Ev₃=3(λ−2)v₂.Usar hipótesis
Tres no es cero y v₂ tampoco: λ−2=0.Concluir
λ=2, pesos 2,0,−2 y dimensión tres.
La terminación impone el valor del máximo.
No se elige la longitud independientemente de λ.
La cadena trivial también pertenece a la clasificación
n=0.
Base
Solo v₀; dimensión uno.
Operadores
Hv₀=0, Ev₀=0 y Fv₀=0.Irreducibilidad
Un espacio de dimensión uno no tiene subespacios propios no nulos. Es V₀.
El entero cero debe incluirse.
Irreducible no exige que la acción sea fiel o no trivial.
6. Las multiplicidades y la elección de base cambian cómo se escribe la acción
En cada V_n de sl₂, todos los pesos tienen multiplicidad uno. En una suma directa se suman multiplicidades: V₂⊕V₀ tiene dos dimensiones de peso cero. El carácter conserva esas multiplicidades y, en el marco complejo finito semisimple, determina la representación hasta isomorfismo.
Un modelo concreto usa polinomios homogéneos de grado n en x, y, con H=x∂ₓ−y∂ᵧ, E=x∂ᵧ y F=y∂ₓ.
Nuestra base vⱼ=Fʲxⁿ es n!/(n−j)! veces wⱼ; reescalar explica los coeficientes distintos.
Mismo conjunto de pesos, distintas multiplicidades
Comparar V₂ y V₂⊕V₀.
Conjunto
Ambas tienen valores 2,0,−2.
Dimensiones
V₂ tiene dimensión tres; la suma tiene cuatro.
Cero
Su multiplicidad pasa de uno a dos, y los caracteres completos ya no coinciden.
Omitir multiplicidades pierde información.
No se afirma que caracteres completos iguales den representaciones distintas aquí.
Dos bases del mismo modelo V₃
Partir de x³.
Aplicar F
Fx³=3x²y, F²x³=6xy² y F³x³=6y³.Aplicar E al segundo descenso
E(6xy²)=12x²y=4(3x²y)=4v₁.Comparar
En la base monomial E(xy²)=2x²y; el cuatro aparece tras la normalización vⱼ=Fʲv₀.
Cambian coeficientes de matrices, no la representación.
No se mezclan fórmulas pertenecientes a bases diferentes.
7. En rango dos el peso necesita dos números, no una sola altura
Para sl₃(C), la Cartan son las diagonales de traza cero.
El peso de un vector se escribe (λ(H₁), λ(H₂)). Los dos operadores deben comprobarse simultáneamente.
Las raíces simples son ε₁−ε₂ y ε₂−ε₃, de coordenadas (2,−1) y (−1,2). Sus múltiplos y sumas no se confunden con una lista de enteros de sl₂.
Los tres pesos de la representación estándar
V=C³, base e₁, e₂, e₃.
e₁
H₁e₁=e₁ y H₂e₁=0: peso (1,0).e₂
H₁e₂=−e₂ y H₂e₂=e₂: peso (−1,1).e₃
H₁e₃=0 y H₂e₃=−e₃: peso (0,−1).
Se necesitan ambos números para distinguir los tres vectores.
Un cero en una coordenada no significa que el peso completo sea cero.
Sumar una raíz transporta correctamente un peso
E₁₂e₂=e₁.
Origen
e₂ tiene peso (−1,1).
Raíz
E₁₂ tiene raíz (2,−1).
Destino
(−1,1)+(2,−1)=(1,0), peso de e₁.
La regla λ↦λ+α sigue funcionando con varias coordenadas.
La imagen concreta es no nula, así que sí aparece el peso de destino.
8. El teorema general usa pesos dominantes integrales
Tras elegir raíces positivas, cada raíz simple tiene una corraíz Hᵢ normalizada como el H de una copia de sl₂. Un peso es dominante integral cuando todos los λ(Hᵢ) son enteros no negativos. El teorema de peso máximo clasifica por ellos las irreducibles finitas de una semisimple compleja.
Es un enunciado estructural general; la demostración completa requiere más herramientas que la cadena de rango uno.
En rango mayor hay varias coordenadas y multiplicidades; esa fórmula de dimensión no se traslada automáticamente.
Comprobar dominancia en sl₃
Coordenadas respecto de H₁, H₂: (2,1), (−1,2), (1/2,0).
Primera
Dos y uno son enteros no negativos: (2,1) es dominante integral.
Segunda
(−1,2) tiene una coordenada negativa: no es dominante para la elección positiva fijada.
Tercera
(1/2,0) no es integral, aunque ninguna coordenada sea negativa.
La palabra integral añade una condición distinta de no negativo.
Cambiar el sistema positivo cambia cuál cámara se llama dominante.
El cero puede tener multiplicidad mayor que uno
Representación adjunta de sl₃.
Cartan
H₁, H₂ son independientes y conmutan con toda la Cartan.
Peso cero
Su autoespacio de peso cero es esa Cartan, de dimensión dos.
Otros espacios
Las seis matrices Eᵢⱼ con i≠j aportan seis raíces; 2+6=8, dimensión de sl₃.
La multiplicidad uno de todos los pesos era especial de las V_n de sl₂.
No se incluye el peso cero como una séptima raíz.
9. Comprobar relaciones y grupo global antes de cerrar el cálculo
Una lista de operadores pretende ser representación solo si satisface los corchetes. En V₂, por ejemplo, la base v₀, v₁, v₂ da H=diag(2,0,−2), F con unos debajo de la diagonal y E con doses encima. Se comprueba [E, F]=H, además de las dos relaciones con H.
Al pasar de un álgebra a un grupo hay una condición global adicional. Sobre C, las V_n se integran a SL₂, pero para descender a PGL₂ el centro ±I debe actuar trivialmente. En el modelo de grado n, −I actúa por (−1)ⁿ: solo los n pares descienden.
Compartir álgebra de Lie no identifica todas las representaciones globales.
Verificar [E, F] en V₂ por las imágenes
Hvⱼ=(2−2j)vⱼ, Ev₁=2v₀, Ev₂=2v₁.
En v₀
EFv₀=Ev₁=2v₀ y FEv₀=0: diferencia 2v₀.En v₁
EFv₁=Ev₂=2v₁ y FEv₁=2v₁: diferencia cero.En v₂
EFv₂=0 y FEv₂=2v₂: diferencia −2v₂.
La diferencia coincide con H en toda una base.
En esta base Fv₀=v₁ y Fv₁=v₂.
Dos representaciones del álgebra, dos comportamientos ante el centro
V₁ y V₂ como representaciones de SL₂(C).
V₁
−I actúa como menos la identidad y no es trivial.
V₂
−I actúa como (−1)²=1.Descenso
V₂ desciende a PGL₂ y V₁ no. Ambas siguen siendo representaciones válidas de sl₂.
El grupo elegido añade información a la clasificación del álgebra.
El criterio se aplica al cociente SL₂/{±I} sobre C.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Peso máximo cuatro
Describe V₄ de sl₂.
Marco
Usamos V_n irreducible de sl₂(C) con la normalización [H, E]=2E.Máximo
Para V₄, el vector inicial tiene peso cuatro.
Bajar
Aplicar F resta dos: 4,2,0,−2,−4.
Final
La cadena se anula después del índice cuatro por la identidad que obliga n=4.
Dimensión
Hay cinco vectores independientes, una base: dim V₄=5.
Comprobar
Cada peso aparece una vez y se recupera n+1=5.
Dimensión 5 y pesos 4,2,0,−2,−4.
La dimensión coincide con n+1.
EJEMPLO RESUELTO 2
Acción que sube pesos
Si Hv=3v, calcula el peso de Ev cuando Ev≠0.
Dato
Hv=3v y se supone Ev≠0.Relación
[H, E]=HE−EH=2E.Reordenar
HEv=EHv+2Ev.Sustituir
E(3v)+2Ev=3Ev+2Ev.Sumar
HEv=5Ev, así que Ev tiene peso cinco.
Comprobar
El aumento es dos; la condición no nulo es necesaria para registrar un peso.
Ev tiene peso 5.
El peso aumenta exactamente en 2.
Los símbolos que hemos usado
- g
- Álgebra de Lie compleja semisimple de dimensión finita.
- h
- Subálgebra de Cartan, abeliana y diagonalizable por la acción adjunta en este marco.
- h*
- Espacio de funcionales lineales h→C.
- g_α
- Espacio de raíz: [H,X]=α(H)X para todo H∈h, con α no nula.
- V_λ
- Espacio de peso de una representación: H v=λ(H)v para todo H∈h.
- H,E,F
- Base habitual de sl₂ con [H,E]=2E, [H,F]=−2F y [E,F]=H.
- v_j=Fʲv
- Cadena obtenida desde un vector máximo v anulado por E.
- V_n
- Irreducible finita de sl₂(C) de peso máximo n∈{0,1,2,…}.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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