Grupos algebraicos

Un esquema de grupo sobre k tiene morfismos de multiplicación m: G×G→G, identidad Spec k→G e inversión G→G que cumplen las leyes de grupo. Para cada k-álgebra R produce un grupo G(R), compatible con los cambios R→S. Esta convención permite ejemplos no reducidos.

Algunos textos reservan «grupo algebraico» para el caso suave; cuando aparezca un esquema no suave lo diremos. Mirar solo G(k) puede perder nilpotentes y cambios de base. Antes de clasificar, escribiremos coordenadas y las operaciones.

Sobre una k-álgebra R, Gₘ(R)=R×: sus unidades, no simplemente los elementos distintos de cero.

La función t⁻¹ es regular en Gₘ porque pertenece a su anillo de coordenadas. No se extiende como función regular a todo A¹: una hipotética extensión q(t) polinómica cumpliría tq(t)=1, imposible al evaluar t=0.

Las n² entradas son coordenadas de Aⁿ². GLₙ es el abierto D(det), con anillo k[xᵢⱼ, det⁻¹]. Para una matriz con entradas en R se pide det(A)∈R×. La multiplicación tiene entradas (AB)ᵢⱼ=∑ᵣaᵢᵣbᵣⱼ, que son polinomios.

La inversa es adj(A)/det(A). Es regular en ese abierto porque el denominador se ha invertido. No es una expresión polinómica en todas las matrices del espacio afín sin restringir el dominio.

GLₙ es un abierto no vacío de Aⁿ² y por ello tiene dimensión n².

En SL₂ la ecuación es ad−bc=1; su diferencial tiene coeficientes d,−c,−b, a, que no pueden anularse todos en una matriz de determinante uno. Es una hipersuperficie suave de dimensión tres.

Un subgrupo cerrado conserva también las ecuaciones de su estructura de esquema. No todos los grupos algebraicos son afines: una curva elíptica con su ley es un ejemplo no afín. Para grupos afines de tipo finito, el teorema de linealidad los realiza como subgrupos cerrados de algún GL_N; es un resultado estructural, no una cuenta de entradas.

Sus compatibilidades forman un álgebra de Hopf.

La diferencia entre suma y producto queda escrita en Δ, aunque los dos espacios sean unidimensionales.

Un punto tangente a GLₙ en la identidad tiene forma I+εA sobre k[ε]/(ε²).

Todas las matrices A están permitidas para GLₙ; para SLₙ debe cumplirse tr(A)=0.

El corchete se observa en el anillo con ε²=δ²=0, pero εδ conservado: . Usar solo un ε borraría justo ese término.

Sea k de característica p.

Su único primo es (u), por lo que su dimensión de Krull es cero.

Para un punto infinitesimal z=1+aε se cumple z^p=1, pues p=0 en k y ε^p=0 para p≥2. Cualquier a sirve: el tangente tiene dimensión uno. Por ello μ_p no es suave. El grupo trivial tiene tangente cero y no es el mismo esquema.

Sobre C, un toro es un grupo isomorfo a Gₘʳ. Las matrices triangulares superiores con unos en la diagonal forman ejemplos unipotentes. Para grupos afines conectados suaves, el radical unipotente es el mayor subgrupo normal conectado unipotente.

Reductivo significa que ese radical unipotente es trivial; semisimple exige radical soluble conectado trivial.

Un centro finito como {±I} no contradice la semisimplicidad de SL₂: se excluye una parte central toral de dimensión positiva, no necesariamente todo centro.

Al estudiar un ejemplo, se fija el cuerpo o anillo base, las ecuaciones y el dominio de cada operación. Se verifica multiplicación e inversión; después se calculan dimensión y tangente. Ninguno de esos datos aislados determina todo el grupo.

Gₐ y Gₘ tienen álgebras de Lie unidimensionales abelianas, pero no son isomorfos como grupos algebraicos. Un isomorfismo implicaría isomorfismo de sus anillos: en k[x] las únicas unidades son constantes, mientras k[t, t⁻¹] posee t como unidad no constante. Esto ya separa los espacios algebraicos.