Matrices y operaciones

Una fila recorre la tabla en horizontal; una columna, en vertical. Una matriz de tamaño m×n tiene m filas y n columnas, en ese orden. Una tabla 2×3 tiene seis casillas, pero no la misma forma que una 3×2.

Si la matriz se llama A, escribimos aᵢⱼ para una entrada: i nombra la fila y j la columna. Numeramos desde uno. En a₂₃ buscamos la segunda fila y, dentro de ella, la tercera columna. El dibujo marca las dos selecciones y su cruce.

Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y coinciden en cada casilla. Una sola fila es una matriz 1×n; una sola columna es m×1.

La matriz nula tiene todas las casillas cero y puede ser rectangular. Llamamos diagonal a una cuadrada con ceros fuera de su diagonal principal; si los valores de esa diagonal son uno, es la identidad I. Una triangular superior tiene ceros debajo de la diagonal; una inferior, encima.

Una diagonal cumple ambas condiciones.

La suma A+B y la diferencia A−B requieren matrices del mismo tamaño. En cada posición sumamos o restamos las dos entradas que ya estaban ahí. No mezclamos una fila con otra ni añadimos columnas para forzar que encajen.

Un escalar es un número que multiplica toda la matriz: en λA, cada casilla se multiplica por λ. La opuesta −A cambia el signo de todas. Por eso A−B=A+(−B), y los paréntesis son útiles cuando una entrada ya es negativa.

Si A es m×n y B es n×p, cada fila de A y cada columna de B tienen n números. Podemos emparejarlos para calcular una casilla de AB. Si esas longitudes difieren, el producto matricial usual no está definido.

El resultado tiene m filas y p columnas: las dimensiones exteriores.

No confundimos esta condición con la suma, que pide el mismo tamaño completo, ni suponemos que al invertir el orden seguirá existiendo el producto.

Emparejamos su primer número, su segundo y así sucesivamente. Multiplicamos cada pareja y sumamos esos productos: esa suma ocupa una única casilla de C.

Se mantiene la fila elegida mientras recorremos las columnas. El producto casilla a casilla sería otra operación: no es esta multiplicación. También cada columna de AB es una combinación de columnas de A, con coeficientes de la columna correspondiente de B.

Una matriz actúa sobre vectores columna.

La matriz que está más cerca de x actúa primero. Cambiar el orden puede cambiar la salida aunque existan ambos productos.

El producto es asociativo y distributivo cuando los tamaños encajan.

Sin embargo, no podemos cancelar cualquier factor: dos matrices no nulas pueden tener producto nulo si una envía las salidas de la otra a cero.

La transpuesta Aᵀ convierte la fila uno de A en columna uno, la fila dos en columna dos, y así sucesivamente. Una matriz m×n pasa a n×m. Su entrada (i,j) es la antigua (j,i); transponer dos veces recupera la original.

La transpuesta respeta sumas y escalares, pero en un producto invierte el orden: (AB)ᵀ=BᵀAᵀ. Una matriz simétrica es cuadrada y coincide con su transpuesta: las casillas reflejadas respecto a la diagonal principal son iguales.

Una revisión útil no tiene que repetir cada producto. Comprobamos el tamaño, una casilla con signos, ceros que deberían simplificar una fila y la acción sobre un vector fácil. Las pruebas pueden detectar errores; si solo probamos un vector, no garantizamos por sí solas toda una igualdad de matrices.

No existe una división matricial general. Una inversa permitirá deshacer ciertas matrices cuadradas y multiplicando por el lado correcto. El ejemplo anterior de producto nulo explica por qué no se puede cancelar un factor no nulo como si fuera siempre un número distinto de cero.