Representaciones inducidas

Una representación de H asigna operadores ρ(h) sobre V. Si G contiene más elementos, falta decir cómo actúan y respetan todas sus relaciones. Extender al mismo V puede ser imposible. Inducir construye otro espacio, con una acción de G y una copia de V compatible con H.

El modelo más sencillo parte de la representación trivial de un estabilizador. Al mover un punto por G aparecen posiciones diferentes; cada posición proporciona un vector de una representación de permutación. Ese dibujo anticipa el conteo por clases laterales.

La inclusión k[H]⊂k[G] hace de k[G] un módulo derecho sobre k[H], mientras V es izquierdo.

Definimos .

Esta relación permite absorber una acción de H en el vector. No es el tensor libre sobre k, que tendría demasiadas copias. La relación debe conservarse al definir cualquier aplicación desde el espacio inducido.

Sobre la relación gh⊗v=g⊗hv, el resultado es agh⊗v=ag⊗hv, que sigue siendo la misma relación. Así la acción está bien definida.

Inducir actúa también sobre aplicaciones, no solo sobre dimensiones.

Elegimos representantes r₁,…, r_m de las clases izquierdas rᵢH. Cada g se escribe de manera única rᵢh. Por eso k[G]=⊕ᵢrᵢk[H] como módulo derecho; tensorizar da una suma de m copias de V.

Si v₁,…, v_d es una base de V, los rᵢ⊗vⱼ forman una base de la inducida.

La base depende de los representantes; el espacio y su dimensión no. No se divide por |G| en el cuerpo: esta cuenta sigue valiendo en característica modular.

Se separa la nueva posición del operador interno. Si V es trivial solo queda la permutación.

Usamos representantes 1, r, r² y base e₀, e₁, e₂. r los recorre cíclicamente. s fija la primera clase e intercambia las otras dos, con factores que dependen de V.

Las dos recetas son inversas. Así . Hemos fijado la adjunción con Ind en la entrada del Hom; otras realizaciones de inducción y coinducción exigen revisar las flechas.

Sobre C y para un grupo finito, Maschke permite descomponer en irreducibles. Frobenius calcula multiplicidades mediante espacios Hom con las restricciones. Este uso depende de la completa reducibilidad; la construcción algebraica del tensor no la necesita.

La regular Ind_{1}^G k tiene base e_g. El vector ∑e_g es no nulo y queda fijo por todas las permutaciones izquierdas.

En característica que divide |G| puede faltar un complemento invariante.

Un elemento a permuta las copias. Si una copia va a otra distinta, su bloque no contribuye a la traza.

Para V trivial, el carácter cuenta clases fijas.

Sobre C, la expresión sin representantes es . Cada clase fija aporta |H| términos conjugados en H, con la misma traza. Esta normalización de caracteres no sustituye la construcción del tensor en característica modular.

Para K≤H≤G, la transitividad envía g⊗(h⊗v) a gh⊗v y da Ind_H^G Ind_K^H V≅Ind_K^G V. Las relaciones equilibradas garantizan que no depende de las presentaciones. Ind_G^G V≅V mediante g⊗v↦gv.

En grupos infinitos, la inducción algebraica conserva sentido, pero puede tener dimensión infinita. En grupos topológicos, inducir representaciones continuas o unitarias requiere además funciones, medidas, soporte y completaciones. Esas variantes no se obtienen únicamente contando clases.