Una simetría unitaria conserva el producto interno: longitudes, ángulos y ortogonalidad. Empezaremos comprobando una rotación y después veremos una matriz que solo se vuelve unitaria al cambiar el producto. Separaremos matrices finitas, grupos compactos y operadores sobre espacios de Hilbert, porque sus condiciones no son intercambiables.
Si necesitas repasar:
1. Conservar el producto interno implica conservar normas y ortogonalidad
En un espacio complejo fijamos un producto hermítico positivo, conjugado lineal en la primera entrada.
Sobre un espacio real se habla de representación ortogonal. Una rotación del plano es el primer modelo, pero un dibujo con dos vectores solo ilustra la propiedad. Para demostrarla para todos se calcula la matriz del producto.
Un cuarto de vuelta en coordenadas
U=[[0,−1],[1,0]] y v=(3/5,4/5).
Imagen
Uv=(−4/5,3/5).Normas
||v||²=9/25+16/25=1 y ||Uv||²=16/25+9/25=1.Todos los productos
UᵀU=I; por eso conserva también los productos de cualquier pareja de vectores.
La igualdad de norma observada pertenece a una propiedad general comprobada.
U tiene entradas reales y también es unitaria sobre C².
Conservar determinante no basta
A=diag(2,1/2).
Determinante
det A=1.Primer vector
Ae₁=2e₁, cuya norma es dos en lugar de uno.Conclusión
A no es unitaria para el producto usual, aunque conserve área real y tenga determinante uno.
La condición unitaria controla mucho más que el determinante.
No se confunde SL₂ con el grupo unitario.
2. La adjunta conjuga, transpone y cambia el orden de un producto
Para una diagonal, basta comprobar el módulo de cada entrada. Para una matriz general, las columnas deben ser ortonormales: cada una tiene norma uno y son mutuamente ortogonales. Normalizar columnas sin revisar sus productos cruzados no basta.
Dos fases complejas en la diagonal
U=diag(i,−i).
Conjugar
U*=diag(−i, i).Multiplicar
Las entradas de U*U son (−i)i=1 e i(−i)=1.Resultado
U*U=I; la inversa coincide con U*.
Los módulos de ambas entradas son uno.
Transponer sin conjugar dejaría U y daría un producto incorrecto.
Columnas de norma uno que no forman una matriz unitaria
A=[[1,1],[0,0]].
Normas
Ambas columnas son e₁ y tienen norma uno.
Producto cruzado
Su producto interno es uno, no cero.
Matriz
A*A=[[1,1],[1,1]], que no es I; además A no es invertible.
La ortogonalidad entre columnas es una condición adicional.
Comprobar solo la diagonal de A*A omite el fallo.
3. Los autovalores tienen módulo uno, pero esa lista no basta
Una matriz unitaria es normal y el teorema espectral complejo proporciona una base ortonormal de autovectores.
El recíproco de la primera frase es falso sin controlar los autovectores. Para una familia conmutativa de matrices unitarias finitas existe una base ortonormal común. Esto explica los caracteres unidimensionales de los grupos abelianos finitos complejos.
Dos autovalores iguales a uno no garantizan unitariedad
J=[[1,1],[0,1]].
Espectro
Su polinomio característico es (λ−1)².
Norma
Je₂=(1,1), de norma raíz de dos en lugar de uno.Fallo
No conserva el producto usual y no puede ser unitaria para ningún producto positivo: no es diagonalizable.
La condición sobre módulos es necesaria, no suficiente.
El último argumento usa el teorema espectral para un producto positivo.
Dos modos de una rotación
U=[[0,−1],[1,0]] sobre C².
Primer modo
U(1,−i)=(i,1)=i(1,−i).Segundo
U(1, i)=(−i,1)=−i(1, i).Ortonormalizar
Son ortogonales y ambos tienen norma raíz de dos; dividir por ella da una base ortonormal.
Los modos complejos convierten el giro real en dos fases.
Los autovalores son i y −i, ambos de módulo uno.
4. Promediar construye un producto que la acción conserva
Para G finito y una representación compleja finita, partimos de cualquier producto positivo ⟨ , ⟩₀ y ponemos 
. Es hermítico y positivo: para v≠0 el sumando del neutro ya es positivo.
Aplicar h sustituye cada g por gh.
La representación es unitarizable. No significa que sus matrices ya sean unitarias respecto del producto usual de la base inicial.
Una involución que necesita otro producto
G=C₂, ρ(s)=A=[[1,2],[0,−1]].
Relación
A²=I, así que define una representación de C₂.Promedio
B=(I+A*A)/2=[[1,1],[1,3]].Positividad
Para v=(x, y), v*Bv=|x+y|²+2|y|², positivo salvo en el vector cero.
El promedio produce un producto explícito, no solo una existencia abstracta.
A no conserva la norma usual: Ae₂=(2,−1) tiene norma raíz de cinco.
Comprobar invariancia de ese producto
B=[[1,1],[1,3]] y A como antes.
Multiplicar
BA=[[1,1],[1,−1]].Completar
A*BA=[[1,1],[1,3]]=B.Geometría
La esfera B(v, v)=1 es una elipse en el plano real; A lleva esa elipse a sí misma.
Un cambio de producto explica por qué la misma matriz puede ser unitarizable.
No se declara círculo euclidiano a la elipse dibujada.
5. Un complemento ortogonal invariante permite separar modos
Si W es invariante en una representación unitaria, también lo es W⊥.
Repetir la separación termina en irreducibles porque las dimensiones disminuyen. Para grupos finitos complejos, el promedio anterior permite aplicar este argumento a cualquier representación. La positividad hermítica y la división por |G| no son una prueba en característica positiva.
El complemento depende del producto elegido
W=Ce₁ en el ejemplo de A y B.
Ortogonalidad B
B(e₁,(x, y))=x+y, así que W⊥_B=C(−1,1).Acción
Ae₁=e₁ y A(−1,1)=−(−1,1).Base adaptada
e₁ y (−1,1)/raíz de dos son B-ortonormales y A tiene diagonal 1,−1.
La base nueva hace visible la descomposición unitaria.
El complemento euclidiano Ce₂ no era invariante bajo A.
Una permutación separa media y oscilación
C₂ intercambia dos coordenadas de C² con producto usual.
Modo fijo
u=(1,1)/raíz de dos tiene autovalor uno.Modo alternante
v=(1,−1)/raíz de dos tiene autovalor menos uno.
Descomponer
Todo vector es suma de sus componentes en Cu y Cv; ambos espacios son ortogonales e invariantes.
El cambio de base separa dos simetrías elementales.
No se pierde ningún vector porque u, v forman una base.
6. En un grupo compacto se integra en lugar de sumar
Para un grupo compacto Hausdorff y una representación continua de dimensión finita sobre C existe una medida de Haar normalizada, invariante por traslaciones a ambos lados.
La existencia de Haar es un teorema adicional.
El integrando para v≠0 es continuo y positivo en todo el compacto; su mínimo es positivo, de modo que la integral también. Reindexar gh demuestra invariancia. Para un grupo finito, Haar asigna masa 1/|G| a cada punto y devuelve el promedio anterior.
La medida normalizada del círculo
G=S¹, z=e^{iθ}.
Medida
Se integra con dθ/(2π) entre cero y 2π.
Normalizar
La integral de uno es uno.
Trasladar
Multiplicar por e^{iα} desplaza θ a θ+α; la periodicidad conserva el valor de la integral.
El promedio continuo tiene el mismo papel que la suma finita.
No se utiliza la longitud sin normalizar si se quiere masa total uno.
Recuperar exactamente el grupo de orden dos
G={e, s}, con medida de cada punto igual a 1/2.
Integral
∫f dμ=(f(e)+f(s))/2.Producto
B(v, w)=(⟨v, w⟩₀+⟨ρ(s)v, ρ(s)w⟩₀)/2.Invariancia
Aplicar s intercambia los dos términos porque s²=e.
La fórmula discreta es un caso particular de la integral.
Cada masa es positiva y las dos suman uno.
7. Las fases del círculo muestran cómo actúa el promedio sobre modos
Los caracteres continuos del círculo son z↦zⁿ con n entero. En la variable angular son e^{inθ}; el entero asegura que sumar 2π no cambie el valor.
En una representación finita del círculo se pueden separar los espacios de estos pesos. Un promedio de la acción conserva la parte fija y anula los modos no triviales. Esta proyección sobre invariantes es una aplicación del promedio, distinta de promediar productos internos.
Promediar un modo de frecuencia tres
f(θ)=e^{3iθ}.
Integrar
Una primitiva es e^{3iθ}/(3i).
Extremos
En θ=0 y θ=2π el numerador vale uno.Resultado
La diferencia es cero, incluso después de dividir por 2π.
El modo no constante desaparece al promediar.
Para n=0 se integra uno y no se divide por n.
Una fase puede estar bien en R y no bajar a S¹
ρ(θ)=e^{iθ/2}.
En R
ρ(θ+α)=ρ(θ)ρ(α), así que define una representación unitaria de R.
Mismo punto
θ y θ+2π representan el mismo elemento de S¹.
Fallo
e^{i(θ+2π)/2}=−e^{iθ/2}; no asigna un único valor a ese punto del círculo.
El dominio global impone una condición de periodicidad.
Tener módulo uno no resuelve por sí solo que una fórmula esté bien definida.
8. En Hilbert una isometría puede no ser sobreyectiva
En dimensión infinita, U*U=I solo garantiza una isometría. Para llamar unitario a U se exige también sobreyectividad, equivalente a UU*=I. El desplazamiento unilateral en ℓ² es el contraejemplo básico.
Para un grupo topológico se pide normalmente continuidad fuerte: g↦ρ(g)v es continua en norma para cada v. Es más débil que continuidad en norma de operadores. Las bases infinitas permiten ver la diferencia sin cambiar la definición de producto interno.
Una isometría con una coordenada que nunca aparece
S(x₀, x₁,…)=(0, x₀, x₁,…).
Norma
La suma de cuadrados no cambia: S*S=I.Rango
La primera coordenada de Sx es siempre cero; e₀ no tiene preimagen.
Otro producto
SS* anula e₀ y fija e₁, e₂,…, por lo que SS*≠I.S no es unitario.
La equivalencia matricial finita usaba sobreyectividad automática.
No se usa este operador como representación de un grupo porque no tiene inversa.
Continuidad fuerte sin continuidad en norma de operadores
En ℓ², U_t e_n=e^{int}e_n para n≥0.
Cada vector
Para v fijo, se corta una cola de norma pequeña y se usa continuidad de las finitas coordenadas restantes; ||U_t v−v||→0.
Operadores
Tomar t_m=π/m y el vector e_m da U_(t_m)e_m=−e_m.Diferencia
||U_(t_m)−I||=2 para todo m, aunque t_m→0.La continuidad fuerte no implica la de norma.
Cada U_t sí es unitario, con inversa U_(-t).
El vector e_m cambia con m; por eso el argumento no contradice la continuidad para un vector fijo.
9. Sin compacidad no desaparecen las representaciones unitarias, pero falla el promedio universal
Para R aditivo, ρ(t)z=eᵗz es una representación continua en dimensión uno. Ningún producto positivo puede hacerla unitaria: cualquier norma se multiplica por eᵗ. Tampoco hay medida de Haar de probabilidad sobre todo R.
La no compacidad impide afirmar que toda representación se pueda unitarizar por el promedio compacto; no impide que haya muchas representaciones unitarias. Siempre se fijan espacio, producto, grupo y continuidad antes de aplicar un teorema.
Probar que el crecimiento real no se corrige cambiando el producto
ρ(t)z=eᵗz en C.
Productos posibles
En dimensión uno son ⟨z, w⟩=c·conj(z)w con c>0.Norma
||eᵗz||²=c e^{2t}|z|².Contradicción
Para t=1 y z≠0 no coincide con c|z|².Ningún c positivo lo arregla.
La dificultad es intrínseca a esa representación.
No se ha supuesto que todos los grupos no compactos se comporten igual.
Una fase unitaria sobre el mismo grupo
ρ(t)=e^{it}.
Ley
e^{i(t+s)}=e^{it}e^{is}.Norma
|e^{it}|=1, así que conserva cualquier producto positivo en la recta.
Continuidad
t↦e^{it} es continua y la representación es unitaria.
El mismo grupo admite un ejemplo unitarizable y otro que no lo es.
La compacidad era una hipótesis suficiente para un resultado universal.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una rotación unitaria
Comprueba que U=diag(i,−i) es unitaria.
Matriz
U=diag(i,−i).Adjunta
Se conjugan las entradas y se transpone; al ser diagonal U*=diag(−i, i).
Primera entrada
(−i)i=−i²=1.Segunda
i(−i)=−i²=1.Producto
U*U=diag(1,1)=I; U es unitaria.Control
Los dos autovalores i y −i tienen módulo uno, de acuerdo con la conservación de norma.
U*U=I.
Sus autovalores tienen módulo uno.
EJEMPLO RESUELTO 2
Promedio invariante
Para un grupo de orden 2, escribe el producto promediado.
Grupo
G={e, g}, con g²=e.Producto inicial
Tomamos cualquier producto hermítico positivo ⟨ , ⟩.
Promediar
B(v, w)=(⟨v, w⟩+⟨ρ(g)v, ρ(g)w⟩)/2.Aplicar g
B(ρ(g)v, ρ(g)w)=(⟨ρ(g)v, ρ(g)w⟩+⟨v, w⟩)/2.Comparar
La acción intercambió los dos sumandos; el valor es B(v, w).
Positividad
Si v≠0, el primer sumando de B(v, v) es positivo y el segundo no negativo; B es un producto invariante.
(⟨v,w⟩+⟨ρ(g)v,ρ(g)w⟩)/2.
Aplicar g intercambia los dos sumandos.
Los símbolos que hemos usado
- ⟨v,w⟩
- Producto hermítico, conjugado lineal en v, lineal en w y positivo definido.
- U*
- Adjunto: operador caracterizado por ⟨Uv,w⟩=⟨v,U*w⟩; en una base ortonormal es la traspuesta conjugada.
- ρ:G→GL(V)
- Representación: ρ(gh)=ρ(g)ρ(h) y ρ(e)=I.
- ||v||
- Norma √⟨v,v⟩.
- W⊥
- Complemento ortogonal de W: vectores v con ⟨w,v⟩=0 para todo w∈W.
- μ
- Medida de Haar normalizada de un grupo compacto: μ(G)=1 e invariante por traslaciones.
- H
- Espacio de Hilbert complejo, completo para la norma que define su producto interno.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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