Las soluciones en un cuerpo no siempre muestran toda la información de una ecuación. Un esquema añade puntos definidos por ideales primos y un haz que registra las funciones cerca de ellos. Construiremos primero el espectro y sus abiertos, veremos un pegado que se puede calcular con seis residuos y después reuniremos cartas afines para formar la recta proyectiva.
Si necesitas repasar:
1. Los puntos de Spec R son ideales primos y pueden tener distintos cuerpos residuales
Spec R es el conjunto de ideales primos propios de un anillo conmutativo R con identidad. Cada p da un dominio R/p y un cuerpo de fracciones κ(p), que será el cuerpo residual del punto. No se restringe la definición a soluciones con valores en un cuerpo base fijo.
En un cuerpo k solo existe el primo cero. En Z están cero y los ideales (p) para cada número primo positivo p. El punto cero y los puntos maximales tendrán comportamientos topológicos distintos.
Un polinomio sin raíz real todavía puede definir un punto
Anillo ℝ[x] e ideal p=(x²+1).
Cociente
ℝ[x]/(x²+1) se identifica con ℂ, enviando x a i.
Primalidad
Ese cociente es un cuerpo, de modo que p es maximal y primo.
Lectura
El punto existe en el espectro y tiene cuerpo residual ℂ, aunque no sea una raíz con coordenada real.
El espectro recoge más que los ceros en el cuerpo base.
La cuenta se realiza en el anillo de polinomios sobre los reales.
Enumerar todos los puntos de un anillo finito
R=Z/6Z.
Correspondencia
Sus primos vienen de los primos de Z que contienen seis, es decir (2) y (3).
Cocientes
En el primero el residuo es F₂ y en el segundo F₃.
Lista completa
Hay dos puntos. El ideal cero no es primo porque dos por tres es cero sin que ninguno lo sea.
Contar seis elementos del anillo no cuenta seis puntos del espectro.
Las dos clases de ideales se distinguen por sus cocientes.
2. Los cerrados usan inclusión de ideales y los abiertos principales excluyen una función
Se cumple V(I)∩V(J)=V(I+J), porque contener ambos ideales equivale a contener su suma. También V(I)∪V(J)=V(IJ): la primalidad obliga a contener uno de los ideales cuando contiene todos sus productos.
El abierto principal D(f) es el complemento de V((f)); contiene los primos que no contienen f.
La clausura de un punto p es V(p), por lo que ser un punto no implica ser cerrado.
El punto genérico está en contacto algebraico con todos los demás
Spec Z.
Clausura de cero
Todo ideal primo contiene cero, de modo que V((0)) es todo el espectro.
Primos positivos
(p) es maximal, así que V((p)) solo contiene a ese punto.
Diferencia
El punto cero es genérico y no cerrado; los puntos de números primos sí lo son.
La topología no se comporta como puntos aislados de una recta real.
Las flechas del dibujo indican especialización y solo muestran algunos primos cerrados.
Calcular un recubrimiento con dos abiertos
En Spec Z/6Z, tomar D(2) y D(3).
D(2)
Excluye el primo (2) y conserva (3).
D(3)
Excluye (3) y conserva (2).
Recubrir
Su unión es todo el espectro y su intersección D(6)=D(0) es vacía.Aquí ambos puntos son abiertos y cerrados.
Este espectro de dos puntos sí es discreto.
D(0) es vacío porque todos los primos contienen cero.
3. Un haz restringe datos y pega solo cuando son compatibles
Un haz de anillos asigna un anillo O(U) a cada abierto y restricciones O(U)→O(V) para V⊆U. Restringir al mismo abierto es identidad y hacerlo en dos pasos coincide con hacerlo directamente.
El axioma de haz exige unicidad local y pegado: si unas secciones sobre un recubrimiento coinciden en todas las intersecciones, existe una única sección global que las restringe. Si no coinciden en el solapamiento, no se pide pegado. Las secciones no tienen por qué ser funciones ordinarias a un mismo cuerpo.
La compatibilidad no es opcional
Funciones continuas en U=(−∞,1) y V=(−1,∞), que cubren R.
Compatibles
Si ambas son x² en su región, coinciden en (−1,1) y se pegan a x² en todo R.
Incompatibles
Si en V se toma x²+1, ya no coincide con x² en el solapamiento.
Consecuencia
No hay una función global con ambas restricciones en el segundo caso; eso no es un fallo del axioma.
El axioma comienza exigiendo coincidencia en las intersecciones.
La unicidad en el primer caso se ve punto a punto.
Una asignación de datos locales puede no ser un haz
X={a, b} discreto y la regla de permitir solo funciones globalmente constantes en cada abierto no vacío.
Localmente
En {a} se elige cero y en {b} uno.
Solapamiento
Las intersecciones son vacías, así que no hay conflicto local.
Fallo
No existe una función constante en todo X con esos dos valores. La regla no es un haz; permitir funciones localmente constantes sí deja la sección (0,1).
Las restricciones por sí solas definen un prehaz, pero el pegado es otra condición.
El ejemplo usa un cuerpo con cero y uno distintos.
4. El haz estructural afín localiza en cada abierto principal
.Invertir f es legítimo en D(f), cuyos puntos no lo contienen.
La comprobación algebraica de pegado en esa base permite construir el haz en todos los abiertos. Para un abierto arbitrario se usan expresiones locales compatibles, sin suponer una sola fracción común para todo él. En el espacio completo D(1), las secciones son R.
Una sección puede usar una inversa solo donde está permitida
X=Spec k[x], abierto D(x).
Anillo
O(D(x))=k[x, x⁻¹], los polinomios de Laurent.Ejemplo
x⁻²+3x es una sección en D(x).
Extensión
No se extiende a una sección global de O_X, porque no es un polinomio en x. Su denominador falla en el punto (x).
Restringir una región puede permitir nuevas expresiones.
Que una sección esté definida en un abierto no obliga a extensión al espacio entero.
Pegar secciones puede ser una cuenta de residuos
R=Z/6Z, recubrimiento D(2), D(3).
Anillos locales del recubrimiento
R₂≅F₃ y R₃≅F₂. El solapamiento es vacío y su anillo de secciones es el anillo cero, con un solo elemento.
Datos
Elegir uno en F₃ y cero en F₂ es automáticamente compatible en ese solapamiento.
Global
El único residuo módulo seis que es uno módulo tres y cero módulo dos es cuatro. Ese es el pegado.
El teorema chino del resto realiza aquí el axioma de haz.
Cuatro da efectivamente los residuos uno y cero en el orden indicado.
5. Un tallo conserva gérmenes cercanos; el cuerpo residual conserva valores en el punto
Un germen es una sección en alguna vecindad del punto, identificando dos cuando coinciden en una vecindad menor. El tallo reúne esos gérmenes. En un afín, 
, que invierte exactamente los elementos fuera de p.
Es un anillo local con maximal pR_p. Su cociente es κ(p). El tallo y el cuerpo residual son objetos distintos: el primero conserva funciones cercanas y el segundo solo su valor residual. Los espacios localmente anillados exigen tallos locales y mapas locales entre ellos.
Comparar gérmenes y valores en el punto tres
X=Spec Z, p=(3).
Tallo
Es Z_(3): racionales cuyo denominador reducido no es divisible por tres. Siete medios pertenece; un tercio no.
Residuo
El cociente por el maximal es F₃. Uno y cuatro tienen el mismo residuo.
Diferencia
Uno y cuatro siguen siendo gérmenes distintos en Z_(3), pues su diferencia tres no es cero allí.
El residuo identifica más que el germen.
No se usa Z₃, la completación, como sinónimo de Z_(3).
El punto genérico también tiene un anillo local
X=Spec Z, p=(0).
Denominadores
Se invierten todos los enteros no nulos.
Tallo
Z_(0)=Q, que ya es un cuerpo.Residuo
Su maximal es cero y κ((0))=Q.El cuerpo residual no tiene por qué ser finito ni igual al de un punto cerrado.
Cada punto del espectro tiene su propia información local.
El punto genérico es un primo válido, aunque no sea cerrado.
6. Un esquema es localmente afín, pero no tiene por qué ser un único espectro
Un esquema es un espacio localmente anillado que alrededor de cada punto admite una carta abierta isomorfa, con su haz, a un espectro afín. Los cambios de carta deben ser isomorfismos compatibles en los solapamientos.
La recta proyectiva P¹_k se pega con U₀=Spec k[t] y U∞=Spec k[s], identificando sus abiertos invertibles mediante s=1/t. La definición usa espacio, haz y transición; no basta unir dos listas de puntos.
Una coordenada no funciona en toda la recta proyectiva
t=Y/X y s=X/Y.
Primera carta
t existe donde X no es cero. Allí puede tomar el valor cero, en [1:0].
Segunda
s existe donde Y no es cero y toma cero en [0:1].
Solapamiento
Cuando ambas existen y no son cero se cumple st=1. No se identifica el cero de una carta con un valor invertible de la otra.
Las dos cartas cubren los puntos que una sola coordenada no alcanza.
El cambio s=1/t se usa únicamente en el solapamiento.
Las secciones globales no reconstruyen todo esquema no afín
Calcular O(P¹_k).
Cartas
Una sección usa a(t)∈k[t] y b(s)∈k[s].Coincidencia
En el solapamiento a(t)=b(1/t).La primera expresión solo tiene exponentes no negativos y la segunda no positivos.
Global
Solo puede quedar una constante. Sin embargo P¹ tiene al menos los dos puntos [1:0],[0:1], mientras Spec k tiene uno. Por tanto no es el afín determinado por ese anillo global.
El haz y el pegado no se sustituyen por un único anillo global fuera del caso afín.
Si fuera afín, la reconstrucción desde sus secciones globales daría una contradicción en los puntos.
7. Un mapa de anillos produce un mapa geométrico en el sentido opuesto
Un homomorfismo unitario φ: R→S induce Spec S→Spec R mediante q↦φ⁻¹(q). La preimagen es propia y conserva la condición de primalidad; las preimágenes de abiertos D(f) son D(φ(f)).
Las localizaciones dan además la acción sobre funciones. Esa construcción establece la equivalencia contravariante de afines y anillos. Una aplicación continua de los espacios subyacentes no basta para especificar un morfismo de esquemas.
Transportar un punto significa sustituir funciones
φ: Q[t]→Q[x], t↦x²; punto q=(x−3).
Evaluación
Un polinomio f(t) se transforma en f(x²).
Pertenencia
Esa imagen está en (x−3) si f(9)=0.Contracción
φ⁻¹(q)=(t−9).Geométricamente el punto tres llega a nueve.
Los puntos van en dirección opuesta a los polinomios.
No se toma la imagen directa del ideal (x−3), que ni siquiera pertenece al anillo de partida de φ.
La acción sobre funciones puede distinguir mapas con los mismos puntos
A=k[ε]/(ε²), homomorfismos identidad y ε↦0.
Anillos
Ambos preservan la relación ε²=0 y fijan k.Espacio
Spec A tiene un único punto, por lo que las dos aplicaciones subyacentes coinciden.
Secciones
Una conserva ε no nulo y la otra lo mata. Los morfismos de esquemas son diferentes.
El haz forma parte de la geometría del mapa.
El mismo espacio topológico puede admitir acciones infinitesimales diferentes.
8. Los nilpotentes no añaden puntos, pero sí cambian las funciones
El cociente reducido R_red elimina todos los nilpotentes y tiene el mismo espacio topológico espectral que R mediante el mapa natural.
En los números duales A=k[ε]/(ε²), ε no es cero y pertenece al único primo (ε). El esquema tiene un punto, como Spec k, pero su anillo global A conserva un nilpotente no nulo. No son esquemas isomorfos.
Un abierto puede ser vacío aunque su función no sea cero
f=ε en A.
Todos los puntos
Cada primo contiene ε.
Abierto
D(ε) no contiene ningún punto y es vacío.
Localización
A_ε es el anillo cero: invertir un nilpotente obliga a 1=0, coherente con las secciones en el vacío.
El soporte de una función no detecta siempre si es cero como sección.
ε sigue siendo no nulo en A antes de localizar.
La longitud algebraica no es el número de puntos
Comparar k y A=k[ε]/(ε²).
Puntos
Ambos espectros tienen uno.
Espacio vectorial
k tiene dimensión uno sobre k; A tiene base 1, ε y dimensión dos.
Estructura
La dimensión extra guarda una dirección nilpotente, no un segundo primo invisible.
El nombre punto doble se refiere a estructura algebraica adicional.
Un isomorfismo de anillos conservaría los nilpotentes no nulos.
9. Los números duales permiten probar direcciones de primer orden
Reducir ε a cero conserva el punto a; el coeficiente b registra una variación infinitesimal. Las ecuaciones del destino restringen qué variaciones se admiten.
Al sustituir, se descartan productos de dos factores ε porque ε²=0. Así se obtienen las ecuaciones lineales del espacio tangente. Una dirección tangente no es automáticamente una solución exacta de la ecuación para todo valor del parámetro.
La parábola impone una condición a las dos coordenadas
y=x² en el origen; x=aε, y=bε.
Sustituir
bε=(aε)²=a²ε²=0.Comparar coeficientes
La base 1, ε obliga a b=0; a queda libre.Dirección
Las variaciones permitidas son (a,0), una dimensión. Cerca del origen, la ecuación eliminó una de las dos direcciones candidatas.
La relación del anillo se ha comprobado en los números duales.
En un punto (c, c²), la misma expansión exige b=2ca.
Una singularidad puede permitir más direcciones tangentes que su dimensión
Cúspide y²=x³ en el origen, sobre Q.
Sustituir
(bε)²−(aε)³=0 para cualesquiera a, b, porque ambas potencias son cero.
Primer orden
No aparece restricción lineal: el espacio tangente tiene dimensión dos.
Curva
La cúspide tiene dimensión uno. La diferencia de dimensiones señala su falta de regularidad en el origen.
Los nilpotentes sirven para detectar información geométrica que los puntos ordinarios no bastan para ver.
No se afirma que cualquier recta tangente dé una parametrización exacta de la cúspide.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Espectro de un cuerpo
Calcula Spec k para un cuerpo k.
Ideales de un cuerpo
Un ideal no nulo contiene un elemento a invertible, y entonces contiene uno.
Propios
El único ideal propio es (0).
Primo
El cociente por (0) es k, un dominio, así que (0) es primo.
Puntos
Spec k tiene exactamente un punto.
Topología
Sus únicos abiertos son vacío y todo el espacio.
Tallo
Localizar k en el primo cero no lo cambia; su anillo local es k.
Spec k tiene un punto.
Su anillo local es el propio k.
EJEMPLO RESUELTO 2
Punto doble
Compara Spec k con Spec k[ε]/(ε²).
Primos de k
Spec k tiene solo (0).
Primos de A
Todo primo contiene ε porque ε²=0.El cociente A/(ε)=k muestra que el único es (ε).Topología
Ambos espacios tienen un punto y los mismos tipos de abiertos.
Secciones
Las secciones globales son k y A, respectivamente.
Diferencia
A tiene ε no nulo con cuadrado cero; un cuerpo no tiene ningún nilpotente no nulo.
Conclusión
La topología coincide, pero los esquemas no son isomorfos, porque un isomorfismo preservaría esa estructura de anillos.
La topología coincide; los esquemas son distintos.
Un isomorfismo de anillos preservaría nilpotentes no nulos, ausentes en k.
Los símbolos que hemos usado
- Spec R
- Conjunto de ideales primos propios de un anillo conmutativo R con identidad, equipado con su haz estructural cuando se habla del esquema.
- V(I)
- Cerrado de primos p que contienen al ideal I.
- D(f)
- Abierto principal de primos que no contienen f; es el complemento de V((f)).
- O_X(U)
- Anillo de secciones del haz estructural sobre un abierto U de X.
- O_X,x
- Tallo del haz en x: gérmenes de secciones definidas cerca de x.
- R_f
- Localización que permite denominadores potencias de f.
- R_p
- Localización que invierte todos los elementos fuera del primo p.
- R_red
- Cociente de R por su ideal de elementos nilpotentes.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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