Bifurcaciones y caos en sistemas no lineales

Con el parámetro fijo, estabilidad pregunta qué hacen las órbitas cercanas a un objeto. Una bifurcación compara sistemas vecinos de una familia. Cambiar solo la posición de un equilibrio puede conservar su tipo; crear o perder una pareja de equilibrios sí cambia el retrato cualitativo.

En x′=f(x,μ), si fₓ≠0 en un equilibrio, el teorema implícito lo continúa como una rama suave y el signo de fₓ persiste para cambios pequeños. Una bifurcación local de equilibrios necesita pérdida de hiperbólicidad en este marco. La pérdida por sí sola no garantiza que haya bifurcación.

Con μ>0 existen ±√μ; con μ<0 no hay ninguno; en μ=0 se unen en cero. La derivada fₓ=−2x es negativa en la rama positiva y positiva en la negativa.

La rama positiva atrae localmente y la negativa repele. Una silla-nodo escalar no degenerada requiere f=0, fₓ=0, fₓₓ≠0 y fμ≠0 en el punto crítico. En el plano, añadir y′=−y produce una silla en una rama y un nodo atractivo en la otra.

El campo es negativo a ambos lados del origen: una solución positiva baja hacia cero, pero una negativa se hace más negativa. El equilibrio es semiestable, no estable bilateralmente en el sentido de Lyapunov.

Un dato negativo puede explotar hacia menos infinito en tiempo positivo. Un campo polinómico suave garantiza existencia local, no existencia global de toda órbita. El retrato de una bifurcación local tampoco resuelve todo el comportamiento lejano.

Sus derivadas son μ y −μ respectivamente: intercambian estabilidad al cruzar μ=0. La rama cero se conserva para todos los parámetros, una estructura que una perturbación general puede destruir.

Cero atrae si μ<0 y repele si μ>0; para μ>0 nacen ±√μ con derivada −2μ<0. Es la horquilla supercrítica. En μx+x³ las ramas no nulas aparecen para μ<0 y son repulsoras: el signo cúbico cambia el diagrama.

En sistemas con pocas direcciones críticas y otras hiperbólicas, una variedad central local permite reducir el estudio bajo un teorema de regularidad aplicable. No consiste en borrar términos sin justificación y no tiene necesariamente la unicidad del conjunto estable hiperbólico.

En Hopf, un par complejo cruza transversalmente el eje imaginario con frecuencia no nula. Con las condiciones de no degeneración, incluida una contribución cúbica de amplitud no nula, aparece una rama de ciclos.

Para μ>0, el círculo r=√μ es una órbita periódica atractora radialmente.

Un par imaginario sin cruce transversal no basta para esta conclusión.

Atrae si el módulo es menor que uno. Puede ser negativo y acercarse alternando lados. En una ecuación diferencial escalar x′=f(x), la condición lineal atractora es en cambio fₓ<0.

Un multiplicador que cruza +1 o −1 puede producir distintas bifurcaciones bajo condiciones adicionales. El cruce de −1 puede dar duplicación de periodo. Para un ciclo de k puntos se usa (Fᵏ)′, producto de las derivadas en todo el ciclo. Los mapas de retorno transversales permiten estudiar así ciclos de flujos.

En la rama no nula la derivada es 2−r. Dentro del rango físico [0,1], atrae para 1<r<3.

Para el nuevo ciclo, quitar las raíces fijas de Lᵣ²(x)−x deja r²x²−r(r+1)x+r+1=0.

Sus raíces son .

Cerca de tres por arriba forman un ciclo de dos puntos; su multiplicador conjunto es −r²+2r+4, atractivo para 3<r<1+√6.

No hay una sola definición universal. Una formulación topológica habitual combina transitividad, puntos periódicos densos y sensibilidad en un conjunto invariante. Otra mide complejidad mediante entropía positiva. Un exponente de Lyapunov positivo aislado no prueba todas estas propiedades ni recurrencia.

Una ecuación escalar autónoma con unicidad no admite ciclos no constantes: entre equilibrios, el campo tiene signo constante y las soluciones son monótonas. En el plano, Poincaré–Bendixson restringe un conjunto omega-límite compacto sin equilibrios a una órbita periódica bajo sus hipótesis. Mapas, forzamiento temporal y dimensiones mayores requieren otro análisis.

La herradura de Smale estira una dirección, contrae otra y devuelve dos franjas a un rectángulo. Los puntos que permanecen dentro para todos los tiempos forman un conjunto invariante tipo Cantor. En la herradura completa de dos ramas, la dinámica es conjugada al desplazamiento bilateral de dos símbolos.

Una intersección homoclínica transversal de una silla periódica de un difeomorfismo produce una herradura para una iteración adecuada, por Smale–Birkhoff. El retorno global y la transversalidad importan. La existencia de una silla local sin retorno no contiene por sí sola esa conclusión.

El mapa tienda Q(y)=1−|2y−1| tiene dos ramas que cubren [0,1]. h(y)=sin²(πy/2) es un homeomorfismo creciente del intervalo y satisface L₄∘h=h∘Q. La identidad 4sin²a cos²a=sin²(2a), junto a la simetría de las dos ramas, verifica esa conjugación.

L₄ hereda las propiedades topológicas correspondientes del mapa tienda. La codificación binaria requiere atender a puntos de frontera; no afirmamos que todo el intervalo sea homeomorfo a un espacio de Cantor de sucesiones. Una gráfica numérica de bifurcación puede mostrar transitorios largos y ventanas periódicas; no es una prueba de todos los parámetros.

Además, una implementación determinista en un conjunto finito de estados termina repitiendo alguno y después se hace periódica. Eso describe la precisión finita del cálculo y no demuestra que la órbita real correspondiente tenga ese periodo.